일산서구고2수학과외, 삼각함수 그래프의 주기를 계수로 다시 읽기
주엽고등학교, 일산동고등학교, 덕이고등학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 때는 공식을 외운 뒤 같은 형태만 반복하기보다, 식의 계수가 그래프를 어떻게 바꾸는지 직접 재구성해야 한다. 가좌동·대화동·주엽동 등에서 평일 귀가 시간이 다른 만큼 짧은 문제라도 조건, 계산, 검산을 나누어 기록하는 방식이 필요하다.
y=sin 2x의 주기를 4π로 적은 이유
풀이 노트에는 다음과 같이 적혀 있었다.
y=sin 2x의 주기: 4π
이는 계수 2를 주기에 곱한 오류다. 기본함수 y=sin x의 주기는 2π이고, y=sin bx의 주기는
T = 2π/|b|
이다. 따라서 y=sin 2x에서는
T = 2π/2 = π
가 된다. 실제로 sin(2(x+π))=sin(2x+2π)=sin 2x이므로 π만큼 이동하면 같은 값이 반복된다. 4π를 대입해도 같은 값이 나오지만, 가장 작은 양의 주기가 아니므로 주기로 적을 수 없다.
계수와 부호가 함께 바뀐 그래프 읽기
다음 함수의 주기와 그래프의 위치를 확인해 보자.
y=-2sin(3x-π)+1
먼저 괄호 안을 3(x-π/3)으로 바꾸면
y=-2sin 3(x-π/3)+1
이다. 여기서 3은 x방향 압축을 나타내므로 주기는
T=2π/3
이다. -2는 진폭의 크기를 2로 만들고, 그래프를 x축에 대하여 뒤집는다. 바깥의 +1은 그래프 전체를 위로 1만큼 이동시킨다. 따라서 이 함수에는 점근선이 생기는 것이 아니라, 중심선이 y=1이 되고 최댓값은 3, 최솟값은 -1이 된다.
주엽동의 학교 프린트에서 식의 표현이 y=-2sin 3(x-π/3)+1처럼 제시되더라도, 괄호 안의 계수 3과 바깥의 부호 -를 따로 분리해 읽어야 한다. 주기, 진폭, 반사, 평행이동은 서로 다른 정보다.
조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치 찾기
풀이를 세 칸으로 나누어 다음처럼 기록한다.
- 조건: y=sin bx의 주기는 2π/|b|
- 계산: b=2이므로 T=2π/2=π
- 검산: sin(2(x+π))=sin(2x+2π)=sin 2x
4π라는 답이 나왔다면 계산 칸에 표시하고, 그 칸만 다시 쓴다. 이후에는 그래프의 한 주기가 실제로 π 구간 안에서 반복되는지 확인한다. 예를 들어 y=-sin 2x에서는 부호가 바뀌어 그래프가 뒤집히지만, 주기는 여전히 π이다.
음수 계수로 바꾼 독립 확인
이번에는 조건을 바꾸어 다음을 판단한다.
y=cos(-4x+π/2)
cos은 짝함수이므로 cos(-4x+π/2)=cos(4x-π/2)로 나타낼 수 있다. x의 계수의 절댓값은 4이므로 주기는
T=2π/4=π/2
이다. 음수 계수 때문에 주기를 음수로 쓰지 않으며, 주기 계산에는 반드시 |b|를 사용한다. 또한 위 식은 cos(4x-π/2)=sin 4x이므로 실제 그래프도 확인할 수 있고, sin 4x의 주기 π/2와 일치한다.
이처럼 계수의 부호가 바뀌거나 식의 표현이 달라져도, 먼저 x의 계수 절댓값을 찾고 주기를 계산한 뒤 한 주기만큼 이동해 원래 함수값이 반복되는지 검산해야 한다.