회전축이 달라질 때 넓이에서 부피로 이어지는 풀이
일산서구 고3수학과외에서는 주엽고등학교, 일산동고등학교 등 학생의 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려하되, 회전체 문제에서는 계산보다 회전축과 도형의 위치를 먼저 확인하도록 지도한다. 특히 가좌동·대화동·주엽동처럼 생활권이 달라도 핵심은 같은 식을 반복하는 것이 아니라 조건에 맞게 반지름을 다시 정하는 데 있다.
회전축을 바꾸자 그대로 반복한 오답
학생은 곡선 \(y=x\), \(y=x^2\)가 \(0\le x\le1\)에서 둘러싸는 영역을 직선 \(y=1\) 둘레로 회전시킨 부피를 구했다. 수평선 \(y=t\)에서 영역의 가로 길이는
\[ \sqrt t-t\quad(0\le t\le1) \]
이다. 그런데 학생은 x축 회전 문제에서 사용하던 반지름 \(t\)를 그대로 적용해 다음과 같이 계산했다.
\[ V=2\pi\int_0^1t(\sqrt t-t)\,dt =2\pi\left(\frac25-\frac13\right) =\frac{2\pi}{15} \]
이 식은 오답이다. 회전축이 x축이면 반지름이 \(t\)이지만, 현재 회전축은 \(y=1\)이므로 수평선 \(y=t\)에서 축까지의 거리는 \(1-t\)이다.
조건과 변수 관계를 다시 표시한 수정 과정
- 틀린 줄 표시: \(t(\sqrt t-t)\)에서 반지름을 \(t\)로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: \(0\le t\le1\)이고 회전축은 \(y=1\)이므로 반지름은 \(1-t\)이다.
- 식 수정: 수평 조각을 회전시키는 원통껍질의 부피는 \(2\pi\times\text{반지름}\times\text{높이}\times dt\)이다.
따라서 정확한 식은
\[ V=2\pi\int_0^1(1-t)(\sqrt t-t)\,dt \]
이고, 적분하면
\[ \begin{aligned} V &=2\pi\int_0^1 \left(t^{1/2}-t^{3/2}-t+t^2\right)dt\\ &=2\pi\left(\frac23-\frac25-\frac12+\frac13\right)\\ &=2\pi\cdot\frac1{10} =\frac{\pi}{5}. \end{aligned} \]
학생은 마지막에 누적 부피를
\[ V(a)=2\pi\int_0^a(1-t)(\sqrt t-t)\,dt \]
로 두고 미분하여
\[ V'(a)=2\pi(1-a)(\sqrt a-a) \]
를 확인했다. 이는 해당 높이에서의 원통껍질 부피 요소와 일치하므로 반지름을 \(1-a\)로 고친 식이 원래 관계에 맞는지 검산할 수 있다.
회전축과 함수식을 모두 바꾼 독립 검증
새 문제로 \(y=x\), \(y=x^3\)가 \(0\le x\le1\)에서 만드는 영역을 \(y=2\) 둘레로 회전시킨다고 하자. 수평선 \(y=t\)에서 \(0\le t\le1\)일 때 x의 범위는
\[ t\le x\le\sqrt[3]{t} \]
이므로 가로 길이는 \(\sqrt[3]{t}-t\), 회전축까지의 거리는 \(2-t\)이다. 이전 식을 복사하지 않고 새 조건에서 다시 세우면
\[ \begin{aligned} V &=2\pi\int_0^1(2-t)(\sqrt[3]{t}-t)\,dt\\ &=2\pi\left(\frac32-1-\frac37+\frac13\right)\\ &=\frac{17\pi}{21}. \end{aligned} \]
이처럼 회전축의 위치가 바뀌면 반지름도 함께 바뀐다. 도형의 구간, 함수 사이의 거리, 회전축까지의 거리를 먼저 연결한 뒤 적분식을 세워야 같은 공식을 기계적으로 대입하는 오답을 피할 수 있다.