일산서구고1수학과외, 대표 선발에서 순열이 되는 이유
주엽고, 일산동고, 덕이고, 가좌고 등 일산서구의 고1 수학에서는 학교 프린트와 문제집의 표현이 달라져도 같은 경우의 수 개념을 찾아내는 과정이 중요하다. 특히 대표 두 명을 뽑는 문제는 ‘두 명을 선택한다’는 말만 보고 조합을 쓰기 쉽지만, 맡는 역할이 다르면 순서가 결과를 바꾼다.
‘두 명 선택’보다 먼저 읽어야 할 역할 조건
학생이 6명인 동아리에서 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는다고 하자. 회장을 먼저 고르면 6가지, 남은 사람 중 부회장을 고르면 5가지이므로 경우의 수는
6×5=30
이다. 민수와 지아가 뽑혔다는 사실만 보는 것이 아니라, 민수가 회장이고 지아가 부회장인 경우와 지아가 회장이고 민수가 부회장인 경우를 서로 다른 결과로 세기 때문이다.
(민수, 지아)와 (지아, 민수)는 사람의 조합은 같지만 역할 배정이 다르므로 서로 다른 경우이다.
공식을 먼저 적으면서 사라진 판단
수업 중 학생은 문제를 읽자마자 최근에 연습한 6C2를 답안 첫 줄에 적었다. 계산 결과는
6C2=15
였지만, 이 값은 역할 구분 없이 두 사람을 고르는 경우에 해당한다. 회장과 부회장을 구분하면 한 쌍마다 역할을 바꾸는 두 가지 배정이 생기므로
6C2×2=15×2=30
이 되어야 한다. 학생의 답안에는 역할이 다른지 확인한 표시가 없었고, 오답표에도 그 판단 단계가 빠진 채 계산으로 넘어간 흔적만 남았다. 이는 순열과 조합의 공식을 전혀 모르는 상태라기보다, 문제의 조건을 공식 선택과 연결하지 못한 상태에 가깝다.
오답식에서 조건 표시를 되살리는 방법
오답을 고칠 때는 정답 공식만 바꾸지 않고, 틀린 식이 시작된 자리로 돌아간다. 문제에서 명사를 다음처럼 나누어 적는다.
- 선발 대상: 6명
- 역할: 회장, 부회장
- 같은 사람이 두 역할을 맡을 수 없음
그다음 ‘첫 번째 자리’에 회장을 배치하는 방법 6가지와 ‘두 번째 자리’에 부회장을 배치하는 방법 5가지를 직접 적는다. 역할이 없는 대표 두 명이라면 6명 중 2명을 고르는 것이므로 6C2=15이지만, 역할이 있으면 자리가 구별되어 6P2=6×5=30이다. 공식의 이름을 외우는 대신 각 자리가 무엇을 뜻하는지 확인하면 두 식의 차이가 분명해진다.
표현이 바뀐 프린트에서도 같은 구조 찾기
학교 프린트에 ‘학생 6명 중 진행자와 기록자를 정한다’고 쓰이고, 문제집에는 ‘6명 중 두 명을 뽑아 서로 다른 업무에 배치한다’고 쓰여도 결과는 같다. 진행자와 기록자는 역할이 다르므로 6P2=30이다.
반대로 ‘대표단에 참여할 두 명을 정한다’처럼 역할이 제시되지 않으면 순서가 결과에 영향을 주지 않아 6C2=15이다. 문장에 ‘회장·부회장’, ‘1번 업무·2번 업무’, ‘발표자·기록자’처럼 구별되는 자리가 있는지 표시하는 것이 공식 선택보다 앞선다.
조건을 바꾼 확인 문제
훈련 문제의 인원을 6명에서 8명으로 바꾸고, 역할도 회장·부회장에서 발표 담당·자료 담당으로 바꾼다. 한 사람이 두 역할을 동시에 맡을 수 없다면 발표 담당은 8가지, 자료 담당은 남은 7가지이므로
8×7=56
이다. 학생이 이 문제에서 먼저 ‘역할이 서로 다른가’를 표시한 뒤 8P2 또는 8×7로 연결한다면, 숫자만 바꾼 계산이 아니라 문제집과 프린트의 표현을 수학적 구조로 번역한 것이다. 반대로 ‘대표 두 명’이라는 말만 보고 8C2를 적었다면, 역할 조건을 읽는 단계부터 다시 조정해야 한다.
일산서구에서 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 평일 귀가 후 긴 풀이보다 한 문제의 조건 표시를 먼저 점검하는 방식이 효율적이다. 선행 개념인 조합 계산이 필요한 경우에도 계산 연습을 늘리기보다, 현재 문제에서 역할의 순서가 결과를 바꾸는지 먼저 판별한다. 그 판단과 계산 순서를 스스로 조절할 수 있을 때 이 유형을 다음 단계로 넘긴다.