용산동고1수학과외, 문장 속 경계값을 부등호로 옮기는 법
용산동 고등학교의 학교별 내신 일정과 용산동아파트·용산한신아파트 생활권에서 확보되는 짧은 학습 시간을 고려하면, 문장제 한 줄의 조건을 빠르게 기호로 바꾸는 연습이 필요하다. 이때 답만 고치는 것보다 경계값이 포함되는지를 먼저 말하는 습관이 중요하다.
‘이상’과 ‘초과’가 달라지는 지점
문장에 나온 표현은 다음처럼 대응한다.
- 이상: 기준값을 포함하므로 ≥
- 이하: 기준값을 포함하므로 ≤
- 초과: 기준값을 포함하지 않으므로 >
- 미만: 기준값을 포함하지 않으므로 <
예를 들어 어떤 길이를 xcm라고 할 때 “길이가 12cm 이상”은 x ≥ 12이다. 반면 “길이가 12cm 초과”라면 12는 허용되지 않으므로 x > 12가 된다. 두 조건 모두 13은 만족하지만, 12는 첫 번째 조건만 만족한다.
학교 프린트에서 실제로 생긴 경계값 오류
문제에 “반지름이 5cm 이하인 원”이라고 적혀 있었는데, 학생은 ‘이하’에 밑줄을 긋지 않고 곧바로 r < 5라고 옮겼다. 이후 계산은 맞았지만 반지름 5cm인 경우를 제외한 셈이다. 이 식은 학생이 작성한 오답이며, 정확한 조건은 r ≤ 5이다.
반대로 “원의 반지름이 5cm 미만”이라면 r < 5가 맞다. 숫자 5의 포함 여부가 부등호의 방향을 결정하므로, ‘작다’라는 느낌만으로 판단해서는 안 된다.
기호 옆에 경계값의 포함 여부를 남긴다
수정할 때는 문장 전체에 밑줄을 긋기보다 경계를 결정하는 말에 표시한다. 예를 들어 다음과 같이 적는다.
“높이가 18m 이상, 24m 미만” → 18 포함, 24 제외 → 18 ≤ h < 24
여기서 18은 조건에 들어가고 24는 들어가지 않는다. 따라서 정수 높이만 생각하면 가능한 값은 18, 19, 20, 21, 22, 23이다. “18 초과 24 이하”라면 식은 18 < h ≤ 24로 바뀌고, 정수 값은 19부터 24까지가 된다.
도형 조건과 부등식을 연결하는 짧은 훈련
문장제에서 도형 요소를 먼저 정하면 부등호를 놓치기 어렵다. “직사각형의 가로 길이 w가 7cm 이상이고 세로 길이 l이 3cm 초과이다”라는 조건에서는 구해야 할 도형 요소가 가로와 세로이므로
w ≥ 7, l > 3
이라고 각각 연결한다. 학생이 답을 다시 베껴 적는 대신, “가로 7은 포함되므로 ≥, 세로 3은 제외되므로 >”라고 계산 근거를 먼저 말하게 한다. 오답노트에는 긴 해설 대신 ‘경계 포함 여부를 기호 옆에 적기’라는 바뀐 행동 한 가지만 남긴다.
일주일 뒤 조건을 바꾼 확인 문제
일주일 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고 다음 문장을 제시한다.
“삼각형의 밑변 길이 b는 9cm 초과 16cm 이하이다.”
학생이 먼저 “9는 제외, 16은 포함”이라고 말한 뒤 9 < b ≤ 16을 적는지 확인한다. 이어 “둘레가 30cm 미만”이라는 조건을 추가하면 세 변의 길이를 합한 값 P에 대해 P < 30이라고 연결해야 한다. 정답만 확인하지 않고 도형에서 무엇을 나타내는 문자와 경계값이 어떻게 이어지는지를 먼저 설명한다면, 문장 표현이 달라져도 기호를 독립적으로 선택한 것으로 볼 수 있다.