용산동고2수학과외

용산동고2수학과외: 로그부등식의 정수해 개수를 계산 줄에서 바로잡기

용산동의 용산고등학교와 보성여자고등학교 학생들은 학교별 프린트와 지필평가 일정에 따라 주간 풀이량이 달라질 수 있다. 그러나 로그부등식에서 정수해의 개수를 묻는 문항은 일정과 관계없이 밑의 조건, 진수의 조건, 부등호 방향을 한 줄씩 남겨야 답을 지킬 수 있다.

log₂x ≤ 2에서 0을 세어 버린 풀이

문제는 다음과 같다.

log₂x ≤ 2를 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.

풀이 중 학생은 다음처럼 적었다.

log₂x ≤ 2이므로 x ≤ 2²=4이다.
따라서 정수해는 0, 1, 2, 3, 4이고 개수는 5이다.

계산 결과 4라는 상한을 얻은 것 자체는 맞지만, 로그의 진수 조건인 x>0을 계산 줄에 연결하지 않았다. 따라서 x=0은 log₂0이 정의되지 않아 해가 될 수 없다. 밑 2는 0보다 크고 1이 아니며, 증가함수이므로 부등호 방향도 그대로 유지된다.

조건·계산·검산을 세 칸으로 나누어 오류 위치 찾기

이 문제를 다음 세 칸으로 다시 쓴다.

• 조건: x>0
• 계산: log₂x ≤ 2 ⟺ x≤4
• 검산: 0<x≤4인 정수는 1, 2, 3, 4

오류가 생긴 칸은 조건과 검산이다. 계산 칸을 불필요하게 다시 바꾸는 것이 아니라, 빠진 조건을 조건 칸에 넣고 그 결과를 검산 칸에서 확인해야 한다. 그러면 정수해는

x=1, 2, 3, 4

이므로 개수는 4개이다.

이때 각 값을 원래 식에 대입하면 log₂1=0, log₂2=1, log₂3≤2, log₂4=2이므로 모두 조건을 만족한다. 반면 x=0은 대입 단계에서 로그 자체가 정의되지 않는다.

밑이 1보다 작은 새 기호에서 풀이 순서 세우기

문자를 바꾼 다음 문항으로 확인한다.

log_1/3y ≥ −2를 만족하는 정수 y의 개수를 구하여라.

이번에는 먼저 진수 조건을 적는다.

y>0

밑이 0과 1 사이이므로 로그함수는 감소한다. 따라서 부등호 방향이 바뀌어

log_1/3y ≥ −2
⟺ y ≤ (1/3)⁻²=9

조건을 합치면 0<y≤9이다. 가능한 정수는 1부터 9까지이므로 정수해의 개수는 9개이다. 여기서 y=0을 포함하지 않았고, 밑이 작은 까닭에 부등호를 뒤집었다는 두 판단을 모두 풀이에 남겨야 한다.