용산동 고3수학과외에서 확인한 합성함수 적분의 누락 단계
용산동에는 용산고등학교와 보성여자고등학교가 있고, 같은 용산구에는 용산철도고등학교·오산고등학교·성심여자고등학교 등이 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습량이 다르므로, 이 사례에서는 특정 학교의 출제 경향보다 실제 풀이 과정에서 드러난 적분 오류를 중심으로 점검했다.
마지막 답보다 먼저 확인한 틀린 줄
학생은 다음 조건을 만족하는 함수 \(F(x)\)를 구하는 문제에서
\[ F'(x)=2x\cos(x^2+1),\qquad F(0)=3 \]
다음과 같이 풀었다.
\[ F(x)=\int 2x\cos(x^2+1)\,dx =\sin(x^2+1)+C \]
\[ F(0)=3\Rightarrow \sin 1+C=3\Rightarrow C=3-\sin1 \]
이 식은 합성함수의 미분 관계를 끝까지 확인하지 않은 오답이다. 실제로 \(\sin(x^2+1)+C\)를 미분하면 \(2x\cos(x^2+1)\)이므로 여기까지는 맞아 보이지만, 원시함수는 맞다. 다만 학생이 답안에서 자주 쓴 다른 형태인
\[ \int \cos(x^2+1)\,dx=\sin(x^2+1)+C \]
는 틀렸다. 이를 미분하면 \(2x\cos(x^2+1)\)이 되어 원래 integrand인 \(\cos(x^2+1)\)와 다르다. 합성함수에서는 안쪽 함수의 도함수 \(2x\)가 함께 있는지 먼저 확인해야 한다.
적분상수와 초기조건을 분리해 수정하기
학생은 채점 후 마지막 답만 고치지 않고, 틀린 줄에 표시한 뒤 다음 순서로 다시 작성했다.
- 오류 표시: \(\int \cos(x^2+1)\,dx=\sin(x^2+1)+C\)라는 후보를 삭제했다.
- 변수 관계 확인: \(u=x^2+1\)로 두면 \(du=2x\,dx\)이므로 \(2x\)가 있는 적분에만 바로 치환할 수 있음을 확인했다.
- 식 수정: 주어진 식은 \(2x\cos(x^2+1)\)이므로 \[ \int 2x\cos(x^2+1)\,dx=\sin(x^2+1)+C \] 로 정리했다.
- 초기조건 대입: \[ F(0)=\sin1+C=3 \] 이므로 \(C=3-\sin1\)을 구했다.
- 역검산: \[ F(x)=\sin(x^2+1)+3-\sin1 \] 을 미분하면 \(F'(x)=2x\cos(x^2+1)\), \(x=0\)을 대입하면 \(F(0)=3\)이 되어 두 조건을 모두 만족한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않기 위해 이번에는
\[ G'(t)=\frac{3t^2}{1+t^3},\qquad G(1)=2 \]
를 새로 제시했다. 학생은 \(u=1+t^3\)로 두면 \(du=3t^2dt\)이지만 분모가 \(1+t^3\)이므로 다음과 같이 적어야 한다고 판단했다.
\[ G(t)=\ln|1+t^3|+C \]
\(t=1\)에서는 \(1+t^3=2>0\)이므로
\[ 2=\ln2+C,\qquad C=2-\ln2 \]
따라서
\[ G(t)=\ln(1+t^3)+2-\ln2 \]
이다. 실제로 미분하면 \(\frac{3t^2}{1+t^3}\), \(t=1\)을 대입하면 \(G(1)=2\)가 된다. 첫 문제와 계수와 함수형태를 바꿔도 안쪽 함수의 도함수, 적분상수, 초기조건을 차례로 확인하는 습관이 유지되는지 검증했다.