용산구고1수학과외, 부등식 해를 원래 조건에 대입하는 검산
용산동이나 효창동에서 학교와 귀가 후 과제를 이어 가는 고1 학생에게는 중학교 때보다 풀이가 길어진 부등식 문제가 부담이 될 수 있다. 계산을 끝낸 뒤 바로 다음 문제로 넘어가기보다, 구한 해가 실제 조건을 만족하는지 확인하는 한 줄이 필요하다.
계산 결과와 조건은 같은 방향을 가리키는가
다음 부등식을 풀어 보자.
3(2x-1) > 5x+7
양변을 정리하면
6x-3 > 5x+7
x > 10
따라서 해는 x>10이다. 여기서 끝내지 않고 원래 부등식에 해의 범위에서 실제 시험값을 넣어 본다. 예를 들어 x=11이면
왼쪽은 3(2×11-1)=63, 오른쪽은 5×11+7=62이므로 63>62가 성립한다. 반대로 경계값 x=10을 대입하면 양변이 모두 57이 되어 57>57은 거짓이다. 따라서 x=10은 포함되지 않고, 해가 x>10이라는 결론과도 일치한다.
답안에서 사라진 한 줄
용산고등학교나 인근 일반고의 학교 프린트를 풀던 학생의 답안에는 다음처럼 계산만 적혀 있었다.
6x-3>5x+7
x>10
계산 자체는 맞지만, 여백에는 원래 조건에 대입한 흔적이 없었다. 이 학생은 풀이가 맞는지 계산식 안에서만 판단하고, 결과가 처음 조건을 만족하는지는 확인하지 않은 상태다. 특히 부등식에서는 경계값의 포함 여부가 등호의 방향과 연결되므로, 마지막 검산이 없으면 해의 범위를 잘못 적은 경우를 놓칠 수 있다.
오답이 생긴 자리부터 다시 쓰기
부등식 풀이를 고칠 때 처음부터 전부 베껴 쓰지 않는다. 확인이 빠진 줄 아래에 다음 절차를 덧붙인다.
- 구한 해에서 경계값과 그보다 큰 값 또는 작은 값을 하나 선택한다.
- 선택한 값을 원래 부등식에 넣어 좌변과 우변을 각각 계산한다.
- 경계값이 포함되는지 원래 부등호와 대입 결과로 판단한다.
예를 들어 -2x+9≤17을 풀면 -2x≤8이고, 음수로 나누므로 x≥-4이다. x=-4를 원래 식에 넣으면 -2(-4)+9=17이므로 17≤17이 성립한다. x=-5를 넣으면 19≤17이 거짓이고, x=-3을 넣으면 15≤17이 참이다. 이 검산으로 -4가 해에 포함되고 해의 방향도 맞다는 사실을 확인할 수 있다.
지필형으로 바꾼 자료에서 확인하기
수행평가 자료의 표나 설명을 식으로 옮긴 뒤 부등식을 세우는 문제를 지필형으로 바꾸어 확인할 수 있다. 예를 들어 어떤 재료의 개수를 x개라 할 때 총량이 40 이상이어야 하고, 한 개당 6, 기본량이 4라면
6x+4≥40
이므로 x≥6이다. x=6을 원래 조건에 대입하면 6×6+4=40으로 조건을 만족한다. x=5는 34이므로 부족하다. 답을 적은 뒤 학생이 “경계값을 넣어 조건이 딱 맞는지 확인하지 않아 해의 시작점을 확정하지 못했다”처럼 어디서 막혔는지 한 문장으로 말하는지도 살핀다.
계수 자료를 바꾼 추가 확인
새 문제의 계수가 소인수분해 자료에서 나온 경우에는 먼저 인수분해 결과를 역으로 곱해 계수부터 확인한다. 예를 들어 84=2²×3×7인지 확인하려면 2×2×3×7=84를 계산한다. 그 뒤 부등식 84-5x>24를 풀면 -5x>-60, 즉 x<12이다. x=11을 대입하면 29>24로 참이고, x=12를 대입하면 24>24로 거짓이다. 계수 확인과 원래 조건 검산을 모두 스스로 수행했다면, 계산 결과만 받아 적는 단계에서 조건까지 점검하는 단계로 넘어간 것이다.