용산구고2수학과외

용산구고2수학과외에서 먼저 확인한 로그부등식의 정의조건

용산동과 효창동처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 고2 시기에는 로그부등식의 계산보다 답의 범위를 판별하는 과정에서 실수가 드러나기 쉽다. 특히 정수해의 개수를 묻는 문제에서는 부등식의 해와 로그의 정의역을 모두 만족하는 정수만 세어야 한다.

x=0을 포함한 순간 생긴 정수해 개수 오류

문제는 다음과 같다.

log₂x ≤ 2를 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.

풀이 흔적에는 x ≤ 4라고 정리한 뒤, 정수 후보에 0, 1, 2, 3, 4를 포함한 기록이 있었다. 그러나 로그의 진수는 반드시 양수여야 하므로 처음부터

x > 0

을 함께 적어야 한다. 밑이 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가하고, 따라서

log₂x ≤ 2 ⇔ x ≤ 2² = 4

이다. 두 조건을 합치면

0 < x ≤ 4

가 되므로 가능한 정수는 1, 2, 3, 4, 모두 4개다. x=0은 log₂0이 정의되지 않으므로 후보에 넣을 수 없다.

계산 결과보다 먼저 남겨야 할 두 줄

이 유형에서는 풀이 공간에 다음 두 줄을 먼저 남기는 방식으로 오류를 수정한다.

진수 조건: x > 0
밑 2 > 1 이므로 log2x ≤ 2 ⇔ x ≤ 4

그다음 0 < x ≤ 4를 만든 뒤 정수를 센다. 이렇게 하면 부등식 변형으로 얻은 범위와 로그가 실제로 정의되는 범위를 분리하지 않고 함께 판정할 수 있다.

진수 조건의 방향이 바뀐 문항에서 다시 확인하기

같은 판단이 조건이 달라진 문제에서도 유지되는지는 다음 문항으로 확인한다.

log₂(−x) ≤ 2를 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.

이번에는 진수 조건이

−x > 0 ⇔ x < 0

이다. 밑이 2이므로

−x ≤ 4 ⇔ x ≥ −4

이고, 두 조건을 합치면 −4 ≤ x < 0이다. 따라서 정수해는 −4, −3, −2, −1로 4개다. 음수 범위에서 정수를 세기 전에 진수 조건을 먼저 적었다면, 원래 문제의 습관대로 0을 포함하는 오류를 피할 수 있다.