용산구고3수학과외

용산구 고3 수학과외에서 다룬 합성함수 적분의 조건 확인

용산동과 효창동에서 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생은 이동 직후 풀이를 시작할 때 계산을 서두르는 경향이 있었다. 용산고등학교, 오산고등학교, 성심여자고등학교 등 학교와 생활권이 나뉘어 있어 학습 시간이 일정하지 않은 만큼, 합성함수 적분에서는 계산 속도보다 식의 구조와 조건을 먼저 확인하도록 풀이 순서를 고쳤다.

안쪽 함수의 미분을 빠뜨린 첫 풀이

학생은 다음 부정적분을 보고 곧바로 거듭제곱 적분처럼 계산했다.

∫ 6x(3x²+1)⁴ dx

작성한 오답은 다음과 같았다.

∫ 6x(3x²+1)⁴ dx = (3x²+1)⁵/5 + C

이 식은 오답이다. 안쪽 함수 u=3x²+1의 미분은 du=6x dx이므로, 바깥 계수 6x가 이미 안쪽 미분과 정확히 대응한다. 따라서 ∫u⁴du=u⁵/5를 적용할 수는 있지만, 학생의 결과를 미분하면

d/dx{(3x²+1)⁵/5}=6x(3x²+1)⁴

가 되어 원래 적분함수와 같으므로 이 계산 자체는 맞다. 그러나 학생은 안쪽 미분을 확인하지 않고 공식만 적용했기 때문에, 계수가 달라지면 같은 방식이 성립하지 않는다는 점을 설명하지 못했다. 즉, 답은 우연히 맞았지만 풀이 기준은 불완전했다.

변수 관계를 먼저 나누어 다시 작성하기

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 다음 세 가지를 순서대로 적었다.

• 안쪽 함수: u=3x²+1
• 안쪽 미분: du=6x dx
• 적분의 단위와 부호: 6x dx가 모두 포함되어 있고 구간이 없는 부정적분이므로 마지막에 +C를 붙임

따라서 식은

∫ 6x(3x²+1)⁴dx = ∫u⁴du = u⁵/5+C = (3x²+1)⁵/5+C

로 고쳐 썼다. 이후 x=0을 대입하면 원시함수의 값은 1/5+C이고, 양변을 미분했을 때 원래 함수가 다시 나오는지 확인했다. 이 과정을 통해 f′(x)g(f(x)) 꼴에서는 단순히 안쪽 함수가 보이는 것만으로 충분하지 않고, 그 미분이 바깥에 실제로 존재하는지 확인해야 한다는 기준을 세웠다.

안쪽 계수를 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 적분으로 판단 기준을 검증했다.

∫ 10x(5x²-2)³ dx

이번에는 u=5x²-2, du=10x dx로 두면

∫ 10x(5x²-2)³dx = ∫u³du = u⁴/4+C = (5x²-2)⁴/4+C

가 된다. 실제로 미분하면

d/dx{(5x²-2)⁴/4}=10x(5x²-2)³

이므로 검산도 일치한다. 반대로 ∫ 8x(5x²-2)³dx처럼 바깥 계수가 8x라면 du=10x dx와 맞지 않으므로 같은 결과를 바로 쓸 수 없다. 학생은 이후 문제마다 안쪽 함수, 안쪽 미분, 부호와 적분상수를 짧게 표시한 뒤 계산을 시작하는 방식으로 수정했다.