장곡동 고3수학과외: 접선식에서 좌표 위치를 바로잡는 연습
장곡동의 장곡고등학교를 중심으로 공부하는 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 오답을 정리하고 있다. 같은 시흥시의 군서고등학교, 은행고등학교, 시흥고등학교, 시흥능곡고등학교는 참고 학교로 구분하고, 학교별 일정은 실제 안내 자료에 맞춰 따로 기록한다.
그래프의 접점과 식이 처음 어긋난 줄
학생은 포물선 y2=8x 위의 점 P(2,4)에서 접선의 방정식을 구하는 문제를 풀었다. 이 식은 y2=4ax와 비교하면 a=2이고, 접점 좌표는 (x1,y1)=(2,4)이다.
학생의 오답: xx1+yy1=2a(x+x1)
2x+4y=4(x+2)
이 식은 포물선의 접선공식에 맞지 않는 오답이다. y2=4ax에서 접선공식은 yy1=2a(x+x1)이므로, 왼쪽에는 xx1이 아니라 yy1이 와야 한다. 학생은 접선공식의 x1, y1 위치를 바꾸어 포물선의 제곱항 구조를 놓쳤다.
오류 줄을 남기고 식과 그래프를 함께 검산하기
- 오답의 첫 줄인 xx1+yy1=...에 별표를 표시한다.
- 포물선의 제곱항이 y2인지 확인하고, 공식의 왼쪽이 yy1이어야 함을 적는다.
- 정확한 식으로 교체한다: yy1=2a(x+x1).
- 값을 대입하면 4y=4(x+2), 따라서 y=x+2이다.
- 접점 (2,4)를 대입해 4=2+2가 성립하는지 확인한다.
- 포물선에서 y=4일 때 16=8x이므로 x=2임을 역계산하고, 직선의 기울기 1이 접선 방향과 맞는지 그래프에서 대조한다.
따라서 최종 답은 y=x+2이다. 단순히 처음부터 다시 쓰는 대신, 최초 오류 줄과 공식의 변수 관계를 표시해야 같은 유형에서 좌표를 뒤바꾸는 실수를 줄일 수 있다.
평행이동된 포물선으로 독립 검증
이번에는 같은 문제를 반복하지 않고 (y-3)2=12(x+1) 위의 점 (2,9)에서 접선을 구한다. Y=y-3, X=x+1로 두면 Y2=4·3X이고 접점은 (X1,Y1)=(3,6)이다.
접선공식은 YY1=2·3(X+X1)이므로 6(y-3)=6[(x+1)+3]이다. 정리하면 y=x+7이고, 점 (2,9)를 대입하면 9=2+7이 성립한다. 변수가 평행이동된 경우에도 제곱항의 변수와 접점 좌표의 대응을 유지해야 한다.