시흥 고3 수학과외: 표로 주어진 포물선의 초점과 준선 다시 읽기
시흥고등학교, 시흥능곡고등학교, 배곧동과 능곡동 등 시흥의 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 서로 다를 수 있다. 이번 사례의 학생은 식이 직접 제시되지 않고 좌표 표로 조건이 주어진 이차곡선 문제에서, 앞 문제의 초점과 준선을 그대로 옮겨 쓰는 실수를 보였다.
표의 좌표에서 포물선의 축을 먼저 찾기
다음과 같이 포물선 위의 점이 표로 주어졌다고 하자.
| x | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| y | -4 | 0 | 4 |
표의 점들은 (1,-4), (3,0), (5,4)이다. 이 점들을 확인하면 y가 증가할 때 x가 일정한 비율로 변하므로, 단순히 앞 문제의 세로축 포물선을 적용해서는 안 된다. 세 점을 대입하는 이차식은
x = ay2 + by + c
로 둘 수 있다. (3,0)을 대입하면 c=3이고, (1,-4), (5,4)를 각각 대입하면
1 = 16a - 4b + 3
5 = 16a + 4b + 3
따라서 a=1/8, b=1/2이므로
x = (1/8)y2 + (1/2)y + 3
이다. 제곱을 완성하면
x = (1/8)(y+2)2 + 23/4
즉,
(y+2)2 = 8(x-23/4)
이다. 표에서 확인한 그래프의 꼭짓점은 (23/4,-2)이고, 축은 y=-2이다.
앞 문제의 결론을 복사한 오답
학생의 오답: (y+2)2=8(x-23/4)이므로 p=2, 초점은 (23/4+2,-2)=(31/4,-2), 준선은 x=23/4-2=15/4이다.
이 계산은 p를 2로 읽은 점이 틀렸다. 표준형 (y-k)2=4p(x-h)에서 4p=8이므로 p=2 자체는 맞다. 그러나 학생은 새 곡선의 꼭짓점 좌표를 확인하지 않고 앞 문제의 초점과 준선을 그대로 적용하려 했으며, 실제로는 꼭짓점 (23/4,-2)를 기준으로 오른쪽으로 2만큼 이동해야 한다. 따라서 초점은
(23/4+2,-2)=(31/4,-2)
이고 준선은
x=23/4-2=15/4
이다. 결론은 우연히 맞을 수 있어도, 그래프와 식의 관계를 다시 맞추지 않은 풀이 과정은 오답 처리 대상이 될 수 있다.
조건 체크와 접점 대입으로 수정하기
- □ 표의 점을 좌표평면에 표시했는가?
- □ 축이 y=-2인지 확인했는가?
- □ 꼭짓점이 (23/4,-2)인지 확인했는가?
- □ 4p=8에서 p=2를 구했는가?
- □ 초점과 준선을 꼭짓점 기준으로 이동했는가?
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 4p=8과 꼭짓점 좌표를 분리해 적었다. 이어 초점과 준선은 원점 기준 공식이 아니라 (h+p,k), x=h-p에 대입해야 한다는 관계를 확인했다.
접선의 접점으로 T=(31/4,-2+4)=(31/4,2)를 택하면, 원함수에 대입하여
(2+2)2 = 8(31/4-23/4)
16 = 8×2 = 16
이므로 접점 좌표가 곡선 위에 있음을 확인할 수 있다. 또한 초점과 준선까지의 거리는
TF=|31/4-31/4|=0
처럼 계산하면 안 된다. 접점 T의 초점은 F=(31/4,-2)가 아니라 포물선이 오른쪽으로 열린 경우 F=(31/4,-2)이고, T와 F의 거리는 |2-(-2)|=4이다. 준선까지의 거리는 31/4-15/4=4이므로 두 거리가 같아 조건도 통과한다.
기울기와 이동량을 바꾼 독립 검증
다음에는 새로운 표 대신 곡선
(y-3)2=-12(x+1)
을 제시했다. 여기서는 4p=-12이므로 p=-3, 꼭짓점은 (-1,3)이다. 따라서 포물선은 왼쪽으로 열리고 초점은
F=(-1-3,3)=(-4,3)
준선은
x=-1-(-3)=2
이다. 학생은 새 문제에서도 먼저 꼭짓점, 축, 4p의 부호를 체크한 뒤 초점과 준선을 계산했다. 점 T=(-4,9)를 대입하면
(9-3)2=-12(-4+1)
36=36
이고, 초점까지의 거리는 6, 준선 x=2까지의 거리도 6이므로 수정한 절차가 새로운 방향과 이동 조건에서도 유지된다.