시흥고2수학과외

시흥고2수학과외, 시그마의 시작값을 바꾸는 순간

풀이 노트에는 다음 식이 남아 있었다.

∑_k=1ⁿ(3k-2)에서 j=k-1로 바꾼 뒤에도 합의 시작을 1로 두어

∑_j=1ⁿ(3j+1)

이라고 적은 것이다. 그러나 k가 1일 때 j는 0이다. 인덱스는 항의 값이 아니라 항을 세는 기준이므로, 문자를 바꾸면 범위도 함께 바뀌어야 한다.

j=k-1이면 첫 항의 번호는 0이다

원래 식에서

k=1 → j=0,   k=n → j=n-1

이고 k=j+1이므로

∑_k=1ⁿ(3k-2) = ∑_j=0^n-1{3(j+1)-2} = ∑_j=0^n-1(3j+1)

가 된다. 예를 들어 n=4이면 원래 항은 1, 4, 7, 10이므로 합은 22이다. 잘못 바꾼 식 ∑_j=1⁴(3j+1)은 4+7+10+13=34가 되어 전혀 다른 합이 된다. 시작 인덱스를 고치지 않으면 첫 항 1을 빠뜨리는 동시에 새로운 항 13을 덧붙이게 된다.

기호를 읽은 말과 식을 한 줄로 맞추기

재풀이할 때는 먼저 “j는 k보다 1 작은 번호이고, k의 범위 1부터 n은 j의 범위 0부터 n-1로 이동한다”라고 말하게 한다. 그다음 식을 한 줄만 수정한다.

∑_k=1ⁿ(3k-2) → ∑_j=0^n-1(3j+1)

이때 계수 3은 그대로이고, -2는 k=j+1을 대입한 결과 1로 바뀐다. 문자만 교체하는 것이 아니라 항의 표현과 양 끝 인덱스를 함께 옮겨야 부분합의 의미가 유지된다.

표로 확인한 뒤 다른 계수의 식에 적용하기

이제 조건을 바꾸어 다음 식을 확인한다.

∑_k=2^m(5-2k)

같은 방식으로 j=k-1을 사용하면 k=j+1이고, k=2일 때 j=1, k=m일 때 j=m-1이다. 따라서

∑_k=2^m(5-2k) = ∑_j=1^m-1{5-2(j+1)} = ∑_j=1^m-1(3-2j)

가 되어야 한다. 첫 항을 대조하면 원래 k=2의 값은 1이고, 변환식의 j=1 값도 1이다. 시작값이 무조건 0으로 바뀌는 것이 아니라, 원래 시작 인덱스가 어디였는지를 먼저 옮겨야 한다. 시흥의 학교별 주간 프린트나 수행평가에서 표현만 바뀐 시그마가 나와도 이 표처럼 원래 항과 변환된 항을 한 번 대조하면 부분합의 기준을 놓치지 않게 된다.