시흥고1수학과외, 두 집합의 겹치는 원소를 한 번만 빼는 이유
시흥의 고등학교에서는 학교 프린트, 교과서 문제, 수행평가 준비가 서로 다른 일정에 배치될 수 있다. 배곧동이나 능곡동, 장곡동처럼 생활권과 귀가 시간이 다른 학생도 실제 풀이에서는 집합의 겹침을 표시하는 한 줄을 생략하지 않는 연습이 필요하다.
결과식만 남은 집합 문제
다음 두 집합을 생각해 보자.
A={1, 3, 5, 7, 9}, B={3, 6, 9}
두 집합의 원소를 합친 집합은 A∪B={1, 3, 5, 6, 7, 9}이므로 원소 개수는 6이다. 그런데 답안에 n(A∪B)=5+3-2=6이라는 계산만 남아 있고, 왜 2를 빼는지 설명이 없다면 계산 결과는 맞아도 집합 사이의 관계를 확인한 흔적이 부족하다.
실제 풀이에서는 먼저 A∩B={3, 9}를 찾아 n(A∩B)=2임을 적어야 한다. 3과 9는 A와 B에 각각 한 번씩 세어졌으므로 합집합에서는 한 번씩 중복된다. 따라서
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=5+3-2=6
이 된다.
교집합에 한쪽에만 속한 원소를 넣은 장면
이 학생의 답안에서는 교집합을 A∩B={1, 3, 5, 7, 9}처럼 적었다. A의 원소를 그대로 옮긴 것이어서 B에 속하지 않는 1, 5, 7까지 포함되어 있다. 교집합은 두 집합에 동시에 속하는 원소만 모은 집합이므로 3과 9만 남겨야 한다.
이 오류는 공식 자체를 몰라서라기보다, 합집합의 원소 개수에서 무엇이 중복되었는지 확인하지 않고 결과식부터 작성한 상황에 가깝다. 교집합의 원소를 먼저 표시하지 않으면 빼야 할 수를 임의로 정하거나, 한쪽 집합의 원소를 교집합으로 잘못 옮길 수 있다.
식보다 먼저 겹치는 원소를 표시하기
답안을 다음 순서로 바꿔 작성한다.
- A와 B에 동시에 들어 있는 원소를 직접 찾는다.
- 그 결과를 A∩B로 적고 원소 개수를 센다.
- 두 집합의 개수를 더한 뒤, 중복된 교집합의 개수만 한 번 뺀다.
예를 들어 C={a, b, c, d}, D={c, d, e, f, g}라면 먼저 C∩D={c, d}이다. 따라서 n(C∪D)=4+5-2=7이다. c와 d를 두 번 센 상태에서 각각 한 번씩만 남겨야 하므로 교집합의 원소 개수 2를 한 번 뺀다.
학생에게는 계산 전에 “두 집합에 동시에 들어 있는 것은 무엇인가?”를 말하게 했다. 이후 C∩D={c,d}를 확인한 뒤 식을 쓰게 하자, 답안에 교집합과 중복 제거의 근거가 함께 남았다.
문장 조건을 집합 기호로 바꾸는 확인
원소가 직접 나열되지 않은 문제에서도 같은 판단을 적용한다. 전체 학생 28명 중 수학 동아리 참여자는 16명, 과학 동아리 참여자는 13명, 두 동아리에 모두 참여한 학생은 5명이라면 두 동아리 중 하나 이상에 참여한 학생은
16+13-5=24명
이다. 여기서 5명을 빼는 이유는 두 동아리에 모두 참여한 학생이 16명과 13명에 각각 한 번씩 포함되었기 때문이다. 교집합이 5명이라는 조건을 놓치거나 더하면 중복이 제거되지 않는다.
도형 조건이 바뀌었을 때도 겹침을 추적하는가
마지막 확인에서는 숫자만 바꾼 집합 문제를 반복하지 않고, 조건이 달라진 전개도 상황을 제시한다. 길이와 각 조건을 바꾼 도형의 전개도를 보여 준 뒤, 학생이 먼저 마주 보는 면과 이웃한 면을 표시하게 한다.
전개도의 배치가 달라져도 학생이 그림의 위치만 보고 판단하지 않고, 한 면을 기준으로 연결된 면과 서로 마주 보는 면을 다시 추적한다면 조건 사이의 관계를 찾아낸 것으로 본다. 집합 문제에서 교집합을 먼저 확인했던 것처럼, 전개도에서도 겹치거나 연결되는 관계를 표시한 뒤 결론을 말하는지가 확인 기준이다.