장곡동 고2수학과외: 망원형 합은 첫항과 끝항만 남기는 계산이 아니다
학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 조정해야 하는 장곡동 고2수학과외 학습에서는 시그마 문제를 짧은 시간 안에 정확히 정리하는 풀이 습관이 중요하다. 특히 수열의 합에서 망원형 합은 항들이 어떻게 소거되는지 계산 줄에 남겨야 답의 근거가 분명해진다.
1/[k(k+1)]의 소거 구조부터 펼치기
다음 합을 계산해 보자.
S = Σ(k=1 to n) 1/[k(k+1)]
첫 줄에서 첫항과 끝항만 남기면 안 된다. 먼저 부분분수로 바꾼다.
1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)
따라서
S = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))
가운데 항들이 순서대로 소거되어
S = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)
이 된다. 망원형 합의 핵심은 ‘첫항과 끝항을 임의로 고르는 것’이 아니라, 인접한 항 사이에서 실제 소거가 발생하는지 확인하는 데 있다.
첫 줄을 생략했을 때 생기는 대표 오답
풀이에서 1/[k(k+1)]을 펼치지 않고 곧바로 첫항 1과 끝항 1/(n+1)만 남겨 1 - 1/(n+1)이라고 쓰는 경우가 있다. 이 답 자체는 우연히 맞지만, 부분분수 분해와 소거 과정을 건너뛰었기 때문에 다른 형태의 망원형 합에서는 같은 방식으로 적용할 수 없다.
예를 들어
Σ(k=1 to n) 1/[k(k+2)]
에서는
1/[k(k+2)] = 1/2(1/k - 1/(k+2))
이므로 중간의 두 항씩 소거된다. 단순히 첫항과 끝항만 남기면 소거 구조를 잘못 읽게 된다.
계산 전에 네모로 확인할 세 가지
시그마를 전개하기 전 답안에 다음을 네모로 적는다.
□ 부분분수 분해가 가능한가?□ 각 항의 부호와 계수가 정확한가?□ 실제로 소거되는 항을 전개식에서 확인했는가?
1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)를 역계산하면
1/k - 1/(k+1) = [(k+1)-k]/[k(k+1)] = 1/[k(k+1)]
이처럼 원래 항이 복원되어야 다음 줄로 넘어갈 수 있다. 공식처럼 외운 뒤 첫항과 끝항만 기록하는 행동을, 분해식과 전개식으로 확인하는 풀이로 바꾸는 것이다.
항의 시작값이 달라져도 소거를 유지하는지 확인하기
이번에는 다음 합을 계산한다.
T = Σ(k=2 to 6) 1/[(k-1)k]
부분분수 분해와 전개를 먼저 적으면
1/[(k-1)k] = 1/(k-1) - 1/k
T = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6)
이므로
T = 1 - 1/6 = 5/6
이다. 마지막에는 1 - 1/6을 다시 통분하여 5/6이 되는지 확인하고, 부분분수식을 역계산해 원래 분수와 일치하는지도 점검한다. 시작 인덱스가 1이 아니어도 같은 소거 원리를 스스로 세웠다면 망원형 합의 계산을 새로운 조건에 맞게 이어갈 수 있다.