장곡동고1수학과외, 집합의 포함관계로 미지 원소의 범위 정하기
장곡고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 함께 확인해야 하는 시기에는 짧은 문제라도 답안의 근거를 남기는 연습이 필요하다. 집합 문제에서 결과식만 적으면 맞힌 것처럼 보여도, 미지 원소가 왜 그 범위에 들어가는지 설명하지 못할 수 있다.
포함 기호가 알려 주는 원소의 위치
다음 조건을 보자.
A={1, 3, x}, B={1, 2, 3, 4}이고 A⊂B일 때, x가 될 수 있는 값을 구하여라.
A⊂B라는 뜻은 A의 모든 원소가 B에 포함된다는 뜻이다. 이미 1과 3은 B에 들어 있으므로 미지 원소 x도 B의 원소여야 한다.
따라서 먼저
x∈{1, 2, 3, 4}
라고 쓴다. 그런데 A={1, 3, x}에서 x가 1 또는 3이면 새로운 원소가 추가되지 않는다. A가 B의 진부분집합이라는 조건까지 고려하면 x=1, 3일 때도 A≠B이므로 가능하지만, 문제에서 x가 A에 새로 들어가는 원소라고 정했다면 x≠1, 3을 함께 적용해야 한다. 이 경우 답은
x∈{2, 4}
이다. 집합의 원소는 중복해서 세지 않는다는 점까지 확인해야 범위를 정확히 정할 수 있다.
결과만 남긴 답안에서 빠진 판단
실제 답안에는 학생이 곧바로 x=2 또는 4라고 적고 다음 계산으로 넘어갔다. B의 원소를 확인하거나 A의 원소와 비교한 흔적은 없었다. 이 답은 결과 자체는 조건에 맞지만, x의 범위를 정한 근거가 드러나지 않는다.
특히 A⊂B이므로 x∈B라는 문장이 빠지면, 왜 2와 4만 남았는지 설명할 수 없다. 반대로 x=1, 3을 제외한 이유도 ‘A에 이미 있는 원소이기 때문’이라고 밝혀야 한다.
말로 조건을 세운 뒤 식으로 옮기기
풀이를 시작할 때 학생이 다음과 같이 설명하게 한다.
“A의 원소는 모두 B에 있어야 하므로 x는 B의 원소이다. 따라서 x는 1, 2, 3, 4 중 하나이다. x를 A에 새로 들어가는 원소로 보면 이미 있는 1과 3은 제외되어 x=2 또는 4이다.”
그 뒤에 x∈{1,2,3,4}, 필요 조건인 x≠1,3을 차례로 적고 x∈{2,4}를 얻는다. 포함관계와 제외 조건을 말과 기호로 연결하면 계산 결과만 적는 습관을 줄일 수 있다.
조건이 바뀐 집합에서 확인하기
같은 식을 바로 반복하지 않고, 일주일 뒤 학교 프린트의 오답 문제를 다시 꺼내 다음 문제를 제시한다.
C={0, 5, y}, D={0, 2, 5, 7}이고 y가 C에 새로 추가되는 원소일 때, C⊂D를 만족하는 y의 값을 구하여라.
이때 학생이 먼저 y∈{0,2,5,7}이라고 한 뒤, C에 이미 있는 0과 5를 제외하여 y∈{2,7}을 얻는지 확인한다. 단순히 답을 맞혔는지가 아니라, 포함관계에서 미지 원소의 범위를 세우고 기존 원소를 제외하는 과정을 스스로 설명하는지가 기준이다.
중1에서 남은 집합 개념을 설명할 수 있는가
중2 과정으로 넘어가기 전에는 이전에 풀지 못한 집합 문제를 다시 보며 “모든 원소가 들어가야 하므로 미지 원소도 바깥 집합에 속해야 한다”는 근거를 설명하게 한다. 이 한 문장을 답안에 남길 수 있어야 포함관계를 다음 계산의 출발점으로 제대로 사용할 수 있다.