신정동고2수학과외

신정동 고2수학과외: 지수방정식에서 시간 변수의 위치를 해석하는 연습

신정동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 학교 선택보다 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 조정하는 관점에서 학습 장면을 살펴볼 수 있다. 마포구 통학권 참고 학교로는 상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교 등이 있지만, 학교별 출제 경향을 임의로 단정하지 않고 고2 지수방정식의 실제 풀이 연결에 집중한다.

100·1.05^t=150에서 t는 어디에 있는가

어떤 물품의 현재 수량이 100개이고, 매 시간 5%씩 증가한다고 하자. t시간 후 수량이 150개가 되는 시점을 구하는 문제는 다음 식으로 나타난다.

100·1.05^t=150

여기서 100은 초기값, 1.05는 시간당 증가율을 반영한 변화율, t는 변화가 반복된 횟수이므로 지수의 위치에 놓인다. 양변을 100으로 나누면

1.05^t=1.5

따라서 로그를 이용하면

t=log_1.051.5

이다. 1.05>1이고 1.5>1이므로 t>0이라는 시간 조건에도 맞는다.

계산을 먼저 시작하면서 생긴 식의 위치 오류

풀이 여백에는 다음과 같은 흔적이 남을 수 있다.

100·1.05^t=150에서 t를 계수 자리에 넣어 100t·1.05=150

이 식은 원래 식과 같은 의미가 아니다. t는 매 시간의 증가율을 곱하는 계수가 아니라, 변화율 1.05가 몇 번 반복되는지를 나타내는 지수이다. 또한 100을 먼저 150으로 만드는 비율을 확인해야 하므로, 계산 순서는 다음과 같아야 한다.

1. 초기값과 목표값을 확인한다: 100, 150
2. 변화율의 반복 구조를 식으로 옮긴다: 100·1.05^t=150
3. 초기값으로 나눈다: 1.05^t=1.5
4. 시간의 조건을 확인한다: t≥0

이 과정을 조건·계산·검산의 세 칸으로 나누어 적는다. 조건 칸에는 “초기값 100, 목표값 150, 시간 t≥0, 변화율 1.05”를 기록하고, 계산 칸에는 지수방정식 변형을 남긴다. 검산 칸에서는 구한 t를 100·1.05^t에 다시 넣어 목표값 150이 되는지 확인한다.

로그값을 구한 뒤에도 시간의 의미를 확인하기

계산기에서 t≈8.31을 얻었다면 단위가 시간인지, 시작 시점을 0으로 두었는지 확인해야 한다. 실제로

100·1.05^8.31≈150

이므로 약 8.31시간 후라는 해석이 가능하다. 계산 결과만 적고 원식과 연결하지 않으면 지수를 계수로 잘못 옮긴 오류를 발견하기 어렵다.

초기값이 바뀌어도 같은 위치를 지키는지 확인

이제 초기값과 변화율을 바꾼 문제를 제시한다.

어떤 양이 처음에 200이고 매 기간 10%씩 증가한다. 2기간 후의 양은 얼마인가?

초기값 200과 변화율 1.1, 기간 2를 원식에 연결하면

200·1.1²=200·1.21=242

이다. 이어서 목표값이 220.5일 때 기간 t를 구하면

200·1.05^t=220.5

에서

1.05^t=1.1025=1.05²

이므로 t=2이다. 이때도 t를 계수 자리에 두지 않고 변화율의 지수로 유지했는지, 조건 칸에 초기값 200과 목표값 220.5를 새로 적었는지 확인한다. 새로운 수치에서도 원식에 대입해 200·1.05²=220.5가 되면 풀이 연결이 유지된 것이다.