마포구고2수학과외

마포구고2수학과외, 역수 밑을 지수로 바꾸는 첫 줄의 판단

“(1/3)^x = 3^x-2에서 양변의 밑이 다르니 지수를 비교할 수 없어요.”

마포구의 고2 수학 학습에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간에 따라 풀이를 짧게 정리해야 하는 경우가 많다. 이때 지수방정식의 역수 밑을 만났을 때 첫 줄에서 밑 통일 조건을 놓치면 뒤의 계산이 맞아 보여도 근거가 흔들린다.

(1/3)^x를 3의 지수로 바꾸는 과정

주어진 식에서 1/3 = 3^-1이므로

(1/3)^x = (3^-1)^x = 3^-x

따라서 원식은

3^-x = 3^x-2

처럼 바뀐다. 밑이 같은 3이고 3>0, 3≠1이므로 지수를 비교할 수 있다.

-x = x-2
2x=2
x=1

틀린 첫 기호를 그대로 두면 생기는 오류

풀이에서 (1/3)^x = 3^x라고 적은 뒤 x=x-2를 만든다면, 역수의 지수인 -x를 빠뜨린 것이다. 이는 계산 실수가 아니라 (3^-1)^x=3^-x라는 밑 통일 조건을 적용하지 않은 오류다.

연습할 때는 처음 어긋난 기호에 표시하고, 그 바로 아래에 다음 중간식을 다시 쓴다.

(1/3)^x = (3^-1)^x = 3^-x

그 후에만 지수 비교를 진행한다. 마지막에는 원식에 x=1을 대입하여 (1/3)¹=3^-1인지 확인한다.

끝점이 포함될 때와 빠질 때의 확인

같은 판단을 새로운 조건에서 확인하기 위해

(1/2)^x = 2^x-4

를 살펴보자. 1/2=2^-1이므로

2^-x=2^x-4
-x=x-4
x=2

해의 범위가 2≤x≤5라면 x=2는 왼쪽 끝점을 포함하므로 답은 {2}이다. 반대로 범위가 2<x≤5라면 같은 해가 열린 끝점 밖에 있으므로 해가 없다.

이처럼 역수 밑을 a^-1로 바꾸는 중간식을 남긴 뒤, 제한된 범위의 끝점이 실제로 포함되는지도 함께 확인해야 한다.