마포구 고3수학과외에서 역함수 도함수의 대응점 확인하기
상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교 등 마포구의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습하던 학생은 역함수 미분 문제에서 계산보다 먼저 확인해야 할 조건을 자주 놓쳤다. 답안 여백에는 원함수와 역함수의 대응점을 분리하지 않은 흔적이 반복되었다.
틀린 식이 생긴 이유
(f-1)′(a) = 1/f′(a)
이 식은 일반적으로 틀렸다. 역함수의 도함수는 역함수의 입력값에 대응하는 원함수의 입력점을 찾아 사용해야 한다.
예를 들어 f(2)=5, f′(2)=3이라면 원함수와 역함수의 대응은 다음과 같다.
f(2)=5이므로 f-1(5)=2이고,
(f-1)′(5) = 1/f′(2) = 1/3
따라서 (f-1)′(5)를 구하면서 f′(5)를 사용하거나, 조건 없이 1/f′(a)로 쓰는 것은 원함수의 입력값과 출력값을 뒤바꾼 오답이다.
풀이 줄을 다시 고치는 과정
- 틀린 줄 표시: (f-1)′(5)=1/f′(5)
- 조건 확인: 역함수의 입력 5에 대응하는 원함수의 입력은 f(2)=5에서 2이다.
- 식 수정: (f-1)′(5)=1/f′(2)=1/3
- 역계산: 역함수 그래프의 점 (5,2)에서 접선 기울기는 원함수 그래프의 점 (2,5)의 기울기 3의 역수인 1/3이어야 한다.
학생은 재풀이할 때 먼저 f(x)=y에서 역함수의 입력값 y에 대응하는 원함수의 입력값 x를 표시했다. 그 뒤 원함수 도함수의 값이 실제로 주어졌는지 확인하고, 조건이 부족하면 임의의 숫자를 넣지 않도록 했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 함수
H(x)=u(x)v(x)/w(x)
에 대하여 u(1)=2, u′(1)=-1, v(1)=3, v′(1)=4, w(1)=2, w′(1)=1이라 하자. 또한 u(x)=ep(x)이고 p(1)=ln2, p′(1)=-1/2이면 연쇄법칙으로 u′(1)=2(-1/2)=-1임을 먼저 확인한다.
곱셈법칙과 몫의 미분법을 적용하면
H(1)=2·3/2=3
H′(1)=[(u′v+uv′)w-uvw′]/w2
=[((-1)·3+2·4)·2-(2·3)·1]/22=14/4=7/2
따라서 H(1)=3이므로 대응점을 바꾸지 않고
(H-1)′(3)=1/H′(1)=2/7
로 검산한다. 학생은 마지막에 역함수의 점이 (3,1)인지 확인하고, 원함수 접선 기울기 7/2와 역함수 접선 기울기 2/7의 곱이 1인지 확인해 대응점 오류를 독립적으로 점검했다.