신정동고3수학과외

신정동 고3수학과외: 차수가 올라갈 때 함수 구조를 끝까지 추적하기

서울특별시 마포구 신정동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등 같은 마포구 통학권을 참고하되 특정 학교의 시험 경향으로 단정하지 않는다. 귀가 후 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때도 계산량보다 조건과 변수의 관계를 먼저 확인하는 방식이 필요하다.

중간식을 기억하지 않고 구조를 분해하기

다음 함수를 처음부터 독립적으로 미분한다고 하자.

f(x)=((x²+1)e^2x)/(x+1),   x≠−1

곱, 몫, 합성 구조가 함께 있으므로 한 번 구한 도함수의 모양을 그대로 차수만 바꾸면 안 된다. 계산을 줄이기 위해

1/(1+x)=1−x+x²−x³+⋯

를 사용하면

(x²+1)/(x+1)=1−x+2x²−2x³+⋯

이고, e^2x=1+2x+2x²+(4/3)x³+⋯이다. 따라서 곱의 세제곱 항 계수는

4/3−2+4−2=4/3

이므로 f⁽³⁾(0)=3!×4/3=8이다. 대표값도 직접 대입하면 f(0)=1, f(1)=e²로 원래 함수의 분모 조건이 지켜지는지 확인할 수 있다.

실제 오답과 교정 과정

오답: “삼계도함수로 바뀌어도 이전 차수 규칙을 그대로 적용한다. 따라서 f⁽³⁾(0)=f⁽²⁾(0)=4.”

이 식은 틀렸다. 도함수 차수가 하나 증가하면 곱의 각 항에 미분이 분배되고, 급수에서는 한 차수 높은 항의 계수가 새로 반영된다. 실제로 위 전개에서 x²의 계수는 2이므로 f⁽²⁾(0)=4이지만, x³의 계수는 4/3이므로 f⁽³⁾(0)=8이다.

• 틀린 줄 표시: f⁽³⁾(0)=f⁽²⁾(0)=4
• 조건 확인: 분모는 x+1이므로 x=0에서 허용되고, 세 번째 도함수는 세제곱 항까지 필요하다.
• 식 수정: x³의 계수 4/3에 3!을 곱해 f⁽³⁾(0)=8로 고친다.
• 검산: f(0)=1을 원식에 대입하고, 급수의 x³ 계수에 6을 곱해 같은 값 8이 나오는지 역계산한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 함수와 분모를 바꾼다.

g(x)=((x²+2)e^3x)/(x+2),   x≠−2

(x²+2)/(x+2)=1−(1/2)x+(3/4)x²−(3/8)x³+⋯이고, e^3x의 계수는 1, 3, 9/2, 9/2이다. 세제곱 항 계수는

9/2−9/4+9/4−3/8=33/8

이므로 g⁽³⁾(0)=6×33/8=99/4이다. 처음 문제의 숫자나 분모를 반복하지 않고도, 도함수 차수가 바뀔 때 해당 차수의 항을 새로 계산해야 한다는 원칙을 확인할 수 있다.