그래프와 식을 함께 보는 로그방정식 풀이
수내고등학교 고2수학과외 학습에서는 로그 값을 빠르게 계산하는 것보다, 계산 과정 전체에서 정의조건을 유지하는 습관을 먼저 점검했다. 특히 그래프와 식이 함께 제시되면 식을 정리해 얻은 후보를 답으로 확정하기 전에 밑과 진수 조건을 다시 확인해야 한다.
이번 풀이에서 다룬 상황은 두 함수의 교점이었다. 학생은 y=log₂(x-1)과 y=log₂((x-1)²)의 교점 조건을 식으로 옮긴 뒤, 로그의 밑이 같다는 점을 이용해
x-1=(x-1)²
을 세웠다. 이 식에서 x=1, 2를 얻자 두 값을 모두 교점의 x좌표로 적었다. 그러나 x=1에서는 첫 번째 로그의 진수가 0이 되고 두 번째 로그의 진수도 0이 되므로 함수 자체가 정의되지 않는다. 대수식의 해와 원래 로그방정식의 해를 구분하지 않은 것이 최초 오류였다.
풀이 중 드러난 현재 상태
로그의 성질을 적용하고 방정식을 정리하는 계산은 가능했다. 그래프가 제시된 경우에도 두 식을 같게 놓는 방향은 정확히 잡았다. 다만 계산을 먼저 끝낸 뒤 밑 조건과 진수의 양수조건을 마지막에 확인하는 순서가 불안정했고, 합성함수나 그래프의 변화가 함께 들어오면 문장의 비교 관계와 함수관계를 식으로 옮기기 전에 익숙한 계산부터 시작하는 경향이 나타났다.
그래프에서는 두 곡선이 실제로 정의된 구간에서만 교점을 찾아야 한다. 따라서 먼저 2>0, 2≠1, x-1>0, (x-1)²>0을 적어 정의역을 확인한 다음, 식에서 얻은 후보를 검토해야 한다. 이 순서를 지키면 x=1은 그래프에 나타날 수 없는 값이고 x=2만 남는다는 것을 식과 그래프 양쪽에서 확인할 수 있다.
후보해를 남기는 기준 만들기
- 로그의 밑 조건을 계산 시작 전에 기록한다.
- 각 로그의 진수가 양수인지 정의역으로 먼저 표시한다.
- 방정식 변형으로 후보를 구한 뒤 모든 진수에 후보를 대입한다.
- 하나라도 0 이하가 되면 대수적으로 나온 값이라도 답에서 제외한다.
- 남은 값은 원래 식과 그래프의 위치를 함께 대조한다.
수정 과정에서는 위 예시의 숫자와 식을 그대로 반복하지 않았다. 밑을 3으로 바꾸고 진수를 x+2, (x+2)²로 바꾼 문제를 제시해 같은 방식으로 후보를 검사하게 했다. 학생은 먼저 x+2>0을 적고, 방정식에서 나온 후보마다 두 진수를 따로 계산했다. 그 결과 진수를 0으로 만드는 값은 계산 결과에 포함되어도 원래 로그식에는 대입할 수 없다는 점을 풀이에 명시했다.
다음에는 그래프 대신 ‘두 함수의 값이 같다’, ‘정의역에서 비교한다’와 같은 문장을 식과 부등식으로 옮기는 문제를 사용했다. 학생은 이전처럼 바로 로그 계산을 시작하지 않고, 밑 조건과 진수 조건을 먼저 표시한 뒤 함수관계를 등식으로 바꾸었다. 조건과 숫자를 다시 변경한 문제에서도 후보해를 원식에 재대입하고 그래프의 정의역과 맞춰 보는지를 확인했다.
수내고등학교고2수학과외 과정에서는 정답 개수보다 후보가 만들어진 뒤 어떤 기준으로 걸러졌는지를 기록하게 했다. 이를 통해 로그 계산, 함수관계의 식 변환, 그래프 확인이 따로 분리되지 않고 하나의 검증 과정으로 이어지도록 훈련했다.