조건이 겹친 집합에서 핵심조건부터 선별하기
수내고등학교고1수학과외에서는 집합의 원소를 찾는 것보다 여러 조건이 동시에 제시됐을 때 어떤 조건이 정답을 결정하는지 먼저 구분하는 연습을 진행한다. 이 학생은 원소를 직접 나열하는 문제는 해결할 수 있었지만, 조건제시법과 원소나열법을 서로 바꾸는 과정에서 조건 하나를 놓치는 장면이 반복됐다.
나열은 가능하지만 조건을 바꾸면 원소가 빠지는 장면
예를 들어 전체집합을 \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)이라 하고,
\(A=\{x\in U\mid x는\ 2의\ 배수\}\), \(B=\{x\in U\mid x>3\}\)일 때 \(A\cap B\)를 구한다고 하자.
이 학생은 먼저 짝수인 \(2,4,6,8\)을 적은 뒤 \(3보다 큰 수\)라는 조건을 적용해 \(4,6,8\)을 얻었다. 여기까지는 정확했다. 그러나 반대로 \(A\cap B=\{x\in U\mid x는 2의 배수이고 x>3\}\)를 원소나열법으로 바꾸는 문제에서는 \(x>3\)을 \(x\geq3\)처럼 처리하면서 경계에 가까운 수를 확인하지 않고 답을 적었다.
조건이 여러 개 겹칠수록 ‘짝수인가’와 ‘3보다 큰가’를 따로 확인해야 하는데, 익숙한 원소나열 방식부터 시작하면서 핵심조건과 보조조건의 역할이 섞였다. 특히 전체집합의 범위를 다시 보지 않아 가능한 원소를 끝까지 대조하지 않은 것이 최초 오류였다.
조건을 읽음 → 익숙한 조건부터 숫자를 나열함 → 교집합 조건 중 하나를 빠르게 적용함 → 경계 원소를 다시 대입하지 않음 → 원소 하나가 빠진 답을 제출함
핵심조건과 보조조건을 나누는 풀이
현재 이 학생은 집합의 원소를 직접 찾고 기본적인 교집합을 계산할 수 있다. 다만 조건제시법을 원소나열법으로 바꾸거나, 여러 조건이 겹친 새 문제를 제한 시간 안에 풀 때는 첫 조건만 보고 후보를 확정하는 경향이 남아 있다.
수내고등학교 고1수학과외 학습에서는 먼저 구할 집합과 전체집합을 분리해 적게 한다. 그다음 핵심조건을 ‘반드시 만족해야 하는 조건’, 보조조건을 ‘후보를 추가로 걸러내는 조건’으로 표시한다. 예를 들어 \(x\)가 \(1\)부터 \(10\)까지의 자연수이고, \(x\)가 3의 배수이면서 \(x\leq8\)이라면 전체 범위가 후보의 출발점이고, ‘3의 배수’와 ‘8 이하’가 각각 확인할 조건이 된다.
- 전체집합의 범위를 먼저 적기
- 조건제시법의 ‘그리고’, ‘또는’, 부등호 방향 확인하기
- 각 조건을 만족하는 후보를 따로 표시하기
- 교집합이면 두 조건에 모두 해당하는 원소만 남기기
- 완성한 원소를 다시 조건식에 대입해 누락과 초과 여부 확인하기
나열법과 조건제시법을 서로 대조한 재적용
오답을 고친 뒤에는 같은 문제의 답만 다시 쓰지 않고 두 표현을 나란히 작성했다. 예를 들어 \(C=\{2,4,6,8\}\)을 먼저 적은 다음 \(C=\{x\in U\mid x는 2의 배수\}\)로 바꾸고, 다시 조건제시법에서 원소나열법으로 돌아오게 했다. 두 결과가 다르면 어느 조건을 빠뜨렸는지 원소별로 표시했다.
이후 숫자를 바꾼 문제에서 \(U=\{1,2,\dots,12\}\), \(D=\{x\in U\mid x는 3의 배수이고 x>4\}\)를 제시했다. 이전처럼 바로 답을 쓰지 않고 3의 배수인 후보 \(3,6,9,12\)를 적은 뒤 \(x>4\)를 적용해 \(6,9,12\)만 남겼다. 마지막에는 세 원소를 조건식에 각각 대입해 모두 참인지 확인했다.
조건을 바꾼 문제에서는 ‘3의 배수이고 \(x>4\)’를 ‘3의 배수 또는 \(x>4\)’로 바꾸어 교집합과 합집합의 차이도 확인했다. 표에 숫자를 배치하는 문제에서도 계산부터 하지 않고 행과 열이 무엇을 뜻하는지 먼저 적은 뒤, 각 칸이 어떤 조건에 해당하는지 점검하도록 했다. 새 문제에서는 조건을 먼저 표시하고 경계값을 대입한 뒤 답을 정리하는 풀이로 바뀌고 있다.