송내고등학교 고1 수학과외에서 다룬 경우의 수 풀이 흐름
송내고등학교 고1수학과외에서는 시간 제한 안에 답만 구하는 대신, 어떤 조건을 먼저 나누고 어떤 경우를 제외했는지 중간 식으로 남기는 연습을 진행한다. 특히 선택 조건이 여러 개 겹치는 문제에서는 전체 경우를 센 뒤 제외조건을 한꺼번에 빼는 방식이 중복 계산을 만들 수 있어, 조건을 단계별로 분리해 세는 데 초점을 맞췄다.
첫 시험 이후 드러난 실제 오답
한 고1 학생은 선택 조건이 있는 경우의 수 문제에서 가능한 전체 경우를 먼저 계산한 뒤, 제외조건을 마지막에 모아서 빼는 방식으로 풀었다. 예를 들어 전체 선택 경우를 24가지로 세고, 조건 ㄱ에 해당하는 6가지와 조건 ㄴ에 해당하는 5가지를 각각 제외했다. 그런데 ㄱ과 ㄴ에 동시에 해당하는 2가지를 이미 ㄱ에서 뺀 뒤 다시 ㄴ에서도 빼면서, 실제로는 남겨야 할 경우까지 제외했다.
풀이에는 24-6-5=13이라는 식만 남아 있었고, 6가지와 5가지가 서로 겹치는지 확인한 흔적은 없었다. 제외된 경우를 목록으로 써 보자 일부는 두 조건에 동시에 해당했으며, 그 경우는 한 번만 제외해야 했다. 반대로 조건을 한 번에 나누어 세려다 정상적인 경우까지 제외한 부분도 확인되었다.
전체 경우 → 조건별 분류 → 각 분류의 겹침 확인 → 최종 합산 또는 제외
현재 가능한 풀이와 흔들리는 지점
현재는 선택 조건을 기준으로 경우를 단계별로 나누어 세는 것은 가능하다. 첫 번째 선택에서 조건을 만족하는 경우와 만족하지 않는 경우를 나누고, 두 번째 선택에서도 같은 기준을 적용해 표처럼 정리할 수 있다. 그러나 제외조건이 추가되면 이미 센 경우와 새로 제외할 경우가 겹치는지 확인하지 않고 익숙한 뺄셈부터 시작하는 경향이 남아 있다.
따라서 문제의 숫자를 계산하는 능력보다 먼저 조건의 역할을 구분해야 한다. 전체 조건, 선택 조건, 제외조건을 따로 표시하고, 각 경우가 어느 분류에 들어가는지 확인해야 한다. 특히 “적어도 하나”, “동시에 만족”, “어느 것도 선택하지 않음”처럼 서로 연결된 표현은 식을 세우기 전에 말로 풀어 적도록 했다.
중복과 누락을 막는 단계별 재구성
수정할 때는 전체 경우를 바로 계산하지 않고 선택 순서를 정했다. 첫 번째 단계에서 핵심 선택을 기준으로 경우를 나눈 뒤, 각 경우 안에서 두 번째 선택을 진행했다. 예를 들어 첫 선택이 조건을 만족하는 경우를 A, 만족하지 않는 경우를 B로 나누었다면 A와 B가 동시에 성립할 수 없는지 먼저 확인했다. 이후 각 분류 안에서 제외조건을 표시해 같은 경우가 두 분류에 들어가지 않도록 했다.
제외 방식이 필요한 문제에서는 제외할 경우를 한꺼번에 계산하지 않고 목록으로 적었다. 조건 ㄱ의 경우, 조건 ㄴ의 경우, ㄱ과 ㄴ의 공통 경우를 각각 표시한 다음, 두 조건의 합집합을 구하는 구조로 바꾸었다. 즉 제외 경우를 ㄱ의 경우 + ㄴ의 경우 - ㄱ과 ㄴ의 공통 경우로 정리해 공통 부분을 두 번 빼지 않도록 했다.
식의 근거도 함께 말하게 했다. “전체 경우에서 ㄱ과 ㄴ을 뺀다”가 아니라, “ㄱ과 ㄴ을 동시에 만족하는 경우가 두 번 포함되었으므로 한 번 다시 더한다”라고 설명한 뒤 계산하도록 했다. 계산 중에는 각 분류의 합이 전체 경우와 맞는지 확인하고, 분류표에 없는 경우나 두 번 표시된 경우가 없는지 점검했다.
조건과 숫자를 바꾼 문제에 재적용
다음 문제에서는 선택할 수 있는 대상의 수와 제외조건을 모두 바꾸었다. 처음에는 이전 문제의 식을 그대로 적용하려 했지만, 먼저 전체 선택 수를 정하고 조건을 A, B, A와 B의 공통 부분으로 나누어 적었다. 그 결과 제외조건이 서로 겹친다는 사실을 계산 전에 확인했고, 공통 경우를 한 번만 제외하는 식을 세웠다.
또 다른 문제에서는 제외조건 대신 두 단계 선택으로 나누어 풀게 했다. 첫 번째 선택 결과에 따라 두 번째 선택 가능 수가 달라지도록 숫자를 바꾸었으며, 각 단계의 경우를 곱한 뒤 서로 겹치지 않는 분류끼리 더했다. 마지막에는 각 분류에서 나온 경우를 직접 나열해 중복과 누락을 확인하고, 전체 경우의 범위를 벗어나지 않는지도 검산했다.
이제 새 문제에서는 숫자부터 빼지 않고 조건을 먼저 표시한다. 전체 경우와 제외 경우를 구분하고, 공통으로 포함된 경우가 있는지 확인한 뒤 식을 세운다. 송내고등학교고1수학과외에서의 핵심 변화는 정답을 맞히는 데서 끝나지 않고, 어느 경우를 왜 더하고 뺐는지 설명하면서 조건이 바뀐 문제에도 같은 풀이 구조를 적용하는 데 있다.