화성 고2수학과외, x축 아래 넓이의 오류를 계산 줄에서 찾기
화성시의 창의고, 와우고, 정현고, 동탄고 등 학교별 지필평가와 주간 일정은 다를 수 있지만, 적분 넓이 문제에서는 풀이의 한 줄이 답 전체를 바꾸는 경우가 있다. 특히 함수가 x축을 가로지를 때 정적분값과 넓이를 구분해야 한다.
교점을 찾지 않고 한 번에 적분한 줄
다음 문제의 함수는 구간 안에서 x축과 만난다.
문제: 함수 f(x)=x²−4와 x축, 직선 x=−3, x=3으로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
풀이 중 학생이 남긴 줄은 다음과 같았다.
∫−33(x²−4)dx = −6
계산 자체는 정적분값으로 맞다. 그러나 넓이는 음수가 될 수 없으므로 이 줄을 넓이의 답으로 사용할 수 없다. f(x)=0을 먼저 풀면 x=−2, 2이고, 함수의 부호는 구간에 따라 달라진다.
−2와 2에서 구간을 나누어야 하는 이유
[−3,−2]와 [2,3]에서는 f(x)≥0이고, [−2,2]에서는 f(x)≤0이다. 따라서 넓이는 아래처럼 계산한다.
A=∫−3−2(x²−4)dx
−∫−22(x²−4)dx
+∫23(x²−4)dx
F(x)=x³/3−4x라 하면 양쪽 바깥 구간의 넓이는 각각 7/3, 가운데 구간의 넓이는 32/3이다. 그러므로
A=7/3+32/3+7/3=46/3
학생이 놓친 것은 적분 계산 공식이 아니라, 함수가 x축 아래에 있는 구간에서 부호를 바꾸고 교점에서 구간을 분리하는 과정이었다.
답안에 남겨야 할 ‘누락 조건’ 한 줄
같은 유형을 풀 때 계산 줄을 지우고 처음부터 다시 쓰기보다, 오류가 발생한 줄 옆에 다음 조건을 직접 적는다.
f(x)=0 → x=−2, 2 / [−2,2]에서 f(x)<0 → 넓이는 −∫
이후 적분 전에 교점을 표시하고, 각 구간에서 함수의 부호를 확인한다. 정적분값이 음수인지와 넓이가 음수인지는 별개의 판단이라는 점도 함께 확인한다.
새 구간에서 교점 확인부터 시작하는가
풀이 순서를 제시하지 않은 독립 문항으로 다음을 제시한다.
문제: f(x)=x²−9와 x축, x=−4, x=4로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
이때 먼저 x²−9=0에서 교점 x=−3,3을 찾고, 가운데 구간에서는 정적분에 음의 부호를 붙여야 한다. 실제 계산 결과는
2∫34(x²−9)dx − ∫−33(x²−9)dx = 20/3+36=128/3
숫자만 맞추는지보다, 안내 없이도 첫 줄에 교점과 부호 조건을 남겼는지를 확인한다.