접선 조건과 벡터 방향이 어긋난 첫 지점 찾기
화성의 창의고, 와우고, 정현고, 이산고, 서연고, 동탄고, 한백고, 안화고처럼 학교별 내신 일정이 다른 상황에서 이 학생은 답안을 정리할 때 마지막 답만 고치는 습관이 있었다. 향남읍·반송동·병점동·석우동·청계동·반월동 등 생활권에 따라 주간 학습 시간이 달라, 짧은 풀이에서도 조건을 표시하는 자기점검이 필요했다.
처음 어긋난 계산 줄
타원
x2/9 + y2/4 = 1
위의 점 P(9/5, 8/5)에서 접선과 반지름 벡터의 관계를 확인한다. 점이 타원 위에 있는지는
(9/5)2/9 + (8/5)2/4 = 9/25 + 16/25 = 1
로 검산된다. 타원의 함수식을 F(x,y)=x2/9+y2/4-1로 두면 점 P에서의 법선 방향은
∇F(P)=(2x/9, y/2)=(2/5,4/5)
이므로 법선 방향 벡터는 n=(1,2)이다.
학생의 오답: “OP=(9/5,8/5)이므로 접선 방향 벡터도 u=(9,8)이다.”
이 식은 틀렸다. OP는 중심에서 점으로 향하는 반지름 방향이고, 접선 방향은 법선과 수직이어야 한다. 그런데
(1,2)·(9,8)=9+16=25≠0
이므로 (9,8)은 접선 방향이 될 수 없다. 학생은 접선과 반지름을 같은 방향으로 단정한 이 줄에서 처음 조건을 놓쳤다.
화살표로 조건을 연결한 수정
타원 위의 점 → 법선 벡터 ∇F(P)=(1,2) → 접선 벡터 d는 (1,2)와 내적이 0으로 연결한다.
d=(a,b)라 하면
a+2b=0
이므로 접선 방향 벡터를 d=(2,-1) 또는 d=(8,-9)로 잡을 수 있다. 따라서 접선의 방정식은
(1,2)·(x-9/5, y-8/5)=0
즉,
x+2y=5
이다. 실제로 P를 대입하면 9/5+16/5=5이고, 접선 방향 벡터 (2,-1)에 대해 (1,2)·(2,-1)=2-2=0이므로 방향 조건도 맞는다.
후보값을 역검산하는 방법
잘못된 반지름 방향으로 직선을 세우면
(x,y)=(9/5,8/5)+t(9,8)
이고, 이는 (x,y)=(1+5t)(9/5,8/5)로 정리된다. 타원식에 대입하면
(1+5t)2=1
이므로 후보는 t=0,-2/5이다. 두 번째 점은 (-9/5,-8/5)지만, 이것은 접선 위의 점이 아니라 반지름 방향 직선이 타원과 만나는 점이다. 따라서 이 후보를 접선의 교점으로 포함한 것이 오답의 결과다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 각 식 옆에 “점 조건 → 법선”, “내적 0 → 접선”이라는 화살표를 적고, 마지막 후보만 바꾸지 않고 직선의 방향부터 다시 계산했다. 이후 실제 대입 결과가 중근이 되는지도 확인했다. 올바른 접선 방향으로
(x,y)=(9/5,8/5)+s(2,-1)
을 타원식에 넣으면 s=0이 중근으로 나오므로 접선이라는 사실까지 역검산할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 타원을
x2/16+y2/9=1
로 바꾸고 점 Q(8/5,9√3/5)를 사용한다. 점 조건은
(8/5)2/16+(9√3/5)2/9=4/25+27/25=31/25
가 되어 성립하지 않는다. 따라서 이 점을 바로 접선 계산에 넣으면 안 된다. 조건에 맞는 점 Q(2, (3√3)/2)를 다시 선택하면
22/16+((3√3)/2)2/9=1/4+3/4=1
이다. 이때 법선 방향은 (x/16,y/9)=(1/8,√3/6)에 비례하므로 n=(3,2√3)로 둘 수 있다. 접선 방향 벡터 d=(2√3,-3)는
(3,2√3)·(2√3,-3)=6√3-6√3=0
을 만족한다. 숫자와 타원식이 바뀌어도 “반지름 방향을 접선으로 단정하지 않고, 법선과의 내적이 0인지 확인한다”는 조건을 적용해 후보값을 걸러냈다.