화성고1수학과외, 제곱 뒤 무연근을 원식에서 걸러내는 법
화성의 창의고, 와우고, 정현고, 이산고, 서연고, 동탄고, 한백고, 안화고처럼 학교별 주간 학습 일정이 다른 환경에서는 무리방정식의 풀이를 외운 순서대로 쓰는지 확인하는 과정이 필요하다. 특히 양변을 제곱한 뒤 얻은 값은 곧바로 답이 아니라 후보이다.
제곱한 식에서 생긴 후보는 아직 해가 아니다
다음 식을 살펴보자.
√(x+5) = x-1
양변을 제곱하면
(√(x+5))² = (x-1)²
이므로
x+5 = x²-2x+1
이다. 정리하면
x²-3x-4=0, 즉 (x-4)(x+1)=0
에서 x=4 또는 x=-1을 얻는다. 그러나 제곱은 양변의 부호 정보를 잃을 수 있으므로 두 값 모두 원래 식의 해라고 확정할 수 없다.
학생의 답안에서 빠진 한 줄
학생은 계산지에 x=4, -1까지 적은 뒤 원식 옆에 검산 표시를 하지 않고 최종 답을 두 값으로 정리했다. 제곱한 식은 만족하지만 원래 식을 다시 확인하지 않은 상태다. 실제로 x=4를 대입하면
√(4+5)=√9=3, 4-1=3
이므로 성립한다. 반면 x=-1은
√(-1+5)=√4=2, -1-1=-2
가 되어 2≠-2이다. 따라서 x=-1은 제곱 과정에서 생긴 무연근이고, 원래 방정식의 해는 x=4뿐이다.
풀이의 끝을 ‘후보 대입’으로 바꾸기
이 학생에게 필요한 수정은 긴 오답 설명이 아니라 행동 하나를 고정하는 것이다. 양변을 제곱해 이차방정식을 푼 뒤, 얻은 후보를 원래 무리식의 양변에 각각 대입한다.
- 후보 x=4: √(x+5)=x-1에서 3=3이므로 남긴다.
- 후보 x=-1: 2=-2가 아니므로 삭제한다.
오답노트에는 정답만 다시 쓰지 않고 “제곱 후 후보를 원식에 대입한다”라는 바뀐 행동을 남긴다. 또한 혼자 풀이할 때도 최종 답 아래에 원식 검산 한 줄을 실제로 적어야 한다.
정의역과 우변의 부호도 함께 살피기
원식에서 √(x+5)가 있으므로 x+5≥0이어야 하고, 좌변은 항상 0 이상이다. 따라서 우변 x-1도 0 이상이어야 하므로 x≥1이어야 한다. 이 조건만으로도 x=-1은 원식에 들어갈 수 없음을 미리 알 수 있다. 다만 이러한 조건을 확인했더라도 제곱으로 얻은 후보를 원식에 대입하는 절차를 생략해서는 안 된다.
그림이 바뀐 서술형에서 확인하는 방법
검산 행동이 한 유형에만 묶였는지는 전혀 다른 표현의 문제로 확인할 수 있다. 예를 들어 전개도의 면 배치가 바뀐 문제를 제시하고, 그림의 위치만 보고 판단하지 않도록 길이·각·평행 조건을 직접 표시하게 한다. 이어 서술형 답안에서 식, 그 식을 세운 근거, 최종 결론을 각각 확인한다.
무리방정식에서는 후보를 원식에 대입해 식과 결론을 분리하고, 전개도 문제에서는 표시한 조건을 근거로 필요한 성질을 선택하는지가 관찰 기준이다. 문제의 모양이나 배치가 달라져도 풀이 중 검증 행동을 스스로 꺼내는지 확인한다.