청계동 고2수학과외에서 짚은 두 곡선 사이 넓이의 부호
동탄2 생활권에서 동탄중앙고등학교까지의 통학과 과제가 겹치면 풀이를 끝까지 검산할 시간이 부족해질 수 있다. 그러나 적분과 넓이 문제에서는 계산 속도보다 첫 적분식의 방향을 확인하는 일이 우선이다.
교점은 찾았지만 적분식의 위아래가 뒤집힌 경우
다음 두 곡선 사이의 넓이를 구한다고 하자.
y=x², y=2x
교점은
x²=2x → x(x-2)=0 → x=0, 2
이다. 구간 0≤x≤2에서는 2x≥x²이므로 직선 y=2x가 위에 있고 포물선 y=x²가 아래에 있다.
그런데 풀이 과정에서
∫₀²(x²-2x)dx = -4/3
처럼 아래 함수에서 위 함수를 뺀 식을 먼저 적으면 정적분값은 음수가 된다. 이 값 자체의 계산은
[x³/3-x²]₀² = 8/3-4 = -4/3
로 맞지만, 문제에서 요구한 넓이는 음수가 될 수 없다. 두 곡선 사이 넓이는 반드시
∫₀²(위 함수-아래 함수)dx
로 세워야 하므로 정확한 계산은
∫₀²(2x-x²)dx = [x²-x³/3]₀² = 4-8/3 = 4/3
이다.
계산 줄 옆에 ‘위−아래’ 조건을 남기는 훈련
재풀이에서는 식만 다시 계산하지 않고, 첫 줄에 다음 세 가지를 함께 적는다.
교점: x=0, 2
구간: 0≤x≤2
위−아래: 2x−x²
그 뒤 넓이를
A=∫₀²(2x-x²)dx=4/3
로 계산한다. 만약 적분 결과가 음수라면 계산을 계속하지 말고, 먼저 위 함수와 아래 함수의 순서를 다시 대조해야 한다. 두 곡선의 위치가 구간 안에서 바뀌는 문제라면 교점을 기준으로 구간을 나누어 각각 위−아래를 적용해야 한다.
계수가 바뀐 곡선에서 끝까지 확인하기
새 조건으로 다음 문제를 혼자 처리한다.
y=x²와 y=3x로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
교점은
x²=3x → x(x-3)=0 → x=0, 3
이고, 0≤x≤3에서 위 함수는 3x, 아래 함수는 x²이다. 따라서
A=∫₀³(3x-x²)dx
=[3x²/2-x³/3]₀³=27/2-9=9/2
이다. 마지막으로 3x-x²=x(3-x)≥0가 해당 구간에서 성립함을 확인하면, 적분식의 방향과 넓이의 부호까지 새로운 조건에 맞게 검산한 것이다.