청계동 고3수학과외, 공간좌표에서 첫 조건이 어긋난 지점 찾기
동탄2 생활권의 청계동에서 동탄중앙고등학교로 진학한 학생은 중학교 때보다 늘어난 통학과 과제, 시험 준비를 함께 관리해야 했다. 특히 공간좌표와 벡터 단원에서 해설의 결론을 먼저 따라 쓰다 보니, 맞게 계산한 앞부분과 조건을 놓친 뒷부분을 구분하지 못했다.
법선벡터와 점의 좌표를 함께 써야 하는 이유
점 A(1, 2, -1)을 지나고 법선벡터가 n=(2, -1, 3)인 평면의 방정식을 구하는 문제를 풀이했다. 평면 위의 임의의 점을 P(x, y, z)라 하면
AP=(x-1, y-2, z+1)
이고, 평면 위의 모든 방향벡터는 법선벡터와 수직이므로
n·AP=0
이다. 따라서
2(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0
을 전개하면
2x-y+3z+3=0
즉, 평면의 방정식은 2x-y+3z=-3이다.
실제 답안에서 처음 어긋난 줄
2x-y+3z=0
학생은 법선벡터의 성분을 이용하는 데까지는 맞았지만, 점 A의 좌표를 대입해 상수항을 정하지 않았다. 위 식은 법선벡터가 같은 평면들의 묶음 중 하나일 뿐이며, 실제로 A(1,2,-1)을 대입하면
2(1)-2+3(-1)=-3
이므로 0이 아니다. 따라서 학생의 식은 점 A를 지나지 않아 오답이다. 법선벡터만 맞추고 점 조건을 결합하지 않은 것이 첫 오류다.
조건을 표시하며 식을 고치는 과정
- □ 법선벡터 확인: 계수는 (2, -1, 3)인가?
- □ 점 조건 확인: A(1,2,-1)을 평면에 대입했는가?
- □ 부호 확인: z-좌표가 -1이므로 z-(-1)=z+1인가?
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 점에서 임의의 점으로 향하는 벡터를 다시 썼다.
(x,y,z)-(1,2,-1)=(x-1,y-2,z+1)
이후 내적 조건을 다시 계산해 2(x-1)-(y-2)+3(z+1)=0을 얻었다. 마지막으로 A를 대입하여
2-2-3+3=0
인지 확인했다. 또한 점 B(0,0,-1)을 식에 넣으면 0-0-3+3=0이므로 평면 위에 놓이고, 법선벡터의 방향과 평면식의 계수도 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고, 점 P(-2,1,4)를 지나며 법선벡터가 m=(1,3,-2)인 평면을 새로 검증했다.
임의의 점 Q(x,y,z)에 대해
m·PQ=(1,3,-2)·(x+2,y-1,z-4)=0
이므로
(x+2)+3(y-1)-2(z-4)=0
정리하면
x+3y-2z+7=0
이다. P를 대입하면 -2+3-8+7=0이고, 다른 점 Q(1,-1,2)를 대입하면 1-3-4+7=1이므로 Q는 평면 위에 있지 않다. 새로운 점과 법선벡터에서도 점 조건과 방향 조건을 따로 확인한 뒤 결합해야 한다는 풀이 행동을 재현했다.