청계동고1수학과외, 제곱 뒤 교점의 위치까지 확인하기
동탄2 생활권의 청계동에서 동탄중앙고등학교 과제와 시험 문제를 함께 다루다 보면, 계산 결과는 맞았지만 그 값이 실제 그래프의 교점인지 설명하지 못하는 답안을 볼 수 있다. 특히 한쪽 함수에 근호가 있어 양변을 제곱하는 문제에서는 계산으로 얻은 해와 원래 그래프에 존재하는 점을 구분해야 한다.
제곱한 식에서 두 해가 나와도 교점은 하나일 수 있다
다음 두 그래프의 교점을 구해 보자.
y = √(x + 1), y = x - 1
양변을 제곱하면
(x - 1)² = x + 1
이므로
x² - 3x = 0, x(x - 3) = 0
에서 x = 0 또는 x = 3을 얻는다. 그러나 제곱하기 전 식에서 √(x + 1)은 항상 0 이상이므로 x - 1도 0 이상이어야 한다. 따라서 x ≥ 1이고, x = 0은 원래 식을 만족하지 않는다.
x = 3일 때 y = 2이므로 실제 교점은 (3, 2) 하나다. x = 0을 대입하면 첫 번째 식의 y는 1이지만 두 번째 식의 y는 -1이어서 같은 점이 아니다.
답안에서 빠진 것은 계산이 아니라 교점의 근거였다
관찰된 답안에는 x = 0, 3까지 계산한 뒤 곧바로 다음 문항으로 넘어간 흔적이 있었다. 제곱 과정에서 나온 해를 원래 두 함수에 다시 넣거나 그래프에서 위치를 확인한 한 줄이 없었다. 이는 인수분해나 방정식 계산을 못하는 상태라기보다, 제곱 후 해가 원래 교점인지 판별하는 단계가 풀이 절차에서 빠진 상태에 가깝다.
x = 0은 두 함수의 y값이 각각 1, -1로 달라 제외하고, x = 3에서는 두 함수가 모두 y = 2이므로 교점은 (3, 2)이다.
이 문장을 계산 뒤에 직접 말하게 하면 검산이 단순한 구호가 아니라 원래 식의 두 y값을 비교하는 행동으로 바뀐다. 그래프에서도 x = 3 근처에서 두 곡선이 y = 2에서 만나고, x = 0에서는 만나지 않는지 함께 표시한다.
조건을 바꾼 문제에서 같은 판단을 다시 세우기
일주일 뒤에는 식을 바꿔 다음 문제를 제시한다.
y = √(2x + 3), y = x - 1
제곱하면
(x - 1)² = 2x + 3
이므로 x² - 4x - 2 = 0, 따라서
x = 2 ± √6
이다. 원래 두 번째 식의 y가 음수가 될 수 없으므로 x - 1 ≥ 0, 즉 x ≥ 1이어야 한다. 2 - √6은 약 -0.45이므로 제외되고, x = 2 + √6만 남는다. 이때 y = 1 + √6이므로 교점은 (2 + √6, 1 + √6)이다.
이번에는 답만 쓰는지 보지 않고, 제곱으로 얻은 두 값을 모두 원래 조건과 그래프의 위치에 대조하는지 확인한다. 식의 계수와 그래프의 모양이 달라져도 같은 검산 근거를 남긴다면 계산 결과를 교점으로 인정하는 기준이 형성된 것이다.
그림의 배치가 달라질 때 확인할 기준
도형 전개도처럼 그림의 배치가 바뀌는 문제에서는 모양이 익숙한지보다 관계를 다시 추적해야 한다. 마주 보는 면과 이웃한 면을 확인할 때도 표시된 위치만 보고 답하지 않고, 각 면이 실제로 어떤 변을 공유하는지 근거를 남겨야 한다. 그래프 교점 문제에서도 같은 원칙으로, 계산된 x값이 두 함수의 동일한 y값을 만드는지와 그림에서 실제로 만나는 위치인지를 함께 확인한다.
청계동에서 통학과 과제가 겹쳐 풀이 시간이 짧은 날에도 계산 직후 한 줄의 근거를 남기는 습관은 생략하지 않는다. 해결된 문제를 복습 목록에서 뺄 때에도 정답 여부만이 아니라, 조건이 바뀌거나 그림의 배치가 달라졌을 때 관계를 스스로 다시 추적했는지를 기준으로 삼는다.