진안동고2수학과외: 미분과 적분의 역관계에서 넓이 오류를 추적하는 법
진안동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 학교별 내신 자료와 학생의 주간 일정은 화성시 통학권 참고 학교마다 다르게 살펴볼 필요가 있다. 이 글에서는 특정 학교의 출제 경향을 단정하지 않고, 적분과 넓이 문제에서 풀이 한 줄이 어떻게 달라지는지에 집중한다.
정적분값을 넓이로 곧바로 바꾼 계산
학생의 답안에는 다음과 같은 계산이 남아 있었다.
문제: 곡선 \(y=2x-2\), \(x=0\), \(x=2\), \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
학생은 미분과 적분의 역관계를 이용해
\[ \int_0^2(2x-2)\,dx=[x^2-2x]_0^2=0 \]
이라고 계산한 뒤 넓이를 \(0\)이라고 적었다. 적분 계산 자체는 맞지만, 정적분값과 도형의 넓이를 같은 것으로 처리한 줄에서 오류가 생겼다.
\(y=2x-2\)는 \(x=1\)에서 \(x\)축과 만난다. 따라서 \(0\le x<1\)에서는 함수값이 음수이고, \(1
\[ \int_0^2(2x-2)\,dx=0 \]
이지만, 넓이는 두 삼각형의 넓이를 더해야 한다.
\[ \text{넓이} =\int_0^1-(2x-2)\,dx+\int_1^2(2x-2)\,dx =1+1=2 \]
원시함수의 상수항은 조건 없이는 결정되지 않는다
미분과 적분의 역관계를 사용할 때도 원시함수는 하나로 고정되지 않는다. 예를 들어
\[ f'(x)=3x^2-4x \]
라면 양변을 적분하여
\[ f(x)=x^3-2x^2+C \]
를 얻는다. 학생이 \(f(x)=x^3-2x^2\)로 확정했다면, 이는 \(C=0\)이라는 조건을 임의로 추가한 것이다. 실제로 \(x=1\)을 대입하면
\[ f(1)=1-2+C=C-1 \]
이므로 \(f(1)\)의 값이 주어지지 않은 상태에서는 상수항을 하나로 정할 수 없다. 반대로 \(f(1)=4\)라는 조건이 있다면 \(C-1=4\)에서 \(C=5\)가 결정된다.
답안에서는 먼저 원시함수에 \(+C\)를 남기고, 초기조건이 있을 때만 대입하여 상수를 구해야 한다. 마지막에는
\[ \frac{d}{dx}(x^3-2x^2+5)=3x^2-4x \]
처럼 미분하여 원래 식이 보존되는지 확인한다.
기호가 바뀌어도 넓이와 상수항을 따로 점검하기
다음 문항에서는 함수 기호와 구간을 바꾸어 풀이 순서를 확인한다.
문제: \(g'(t)=t-3\)일 때, \(t=1\)부터 \(t=5\)까지 \(g'(t)\)와 \(t\)축으로 둘러싸인 넓이를 구하여라. 또한 \(g(2)=1\)일 때 \(g(t)\)를 구하여라.
먼저 \(g'(t)=0\)에서 \(t=3\)을 찾는다. 따라서 넓이는
\[ \int_1^3-(t-3)\,dt+\int_3^5(t-3)\,dt =2+2=4 \]
이다. 이어서
\[ g(t)=\int(t-3)\,dt=\frac{t^2}{2}-3t+C \]
이고, \(g(2)=1\)을 대입하면
\[ 2-6+C=1,\qquad C=5 \]
이므로
\[ g(t)=\frac{t^2}{2}-3t+5 \]
이다. \(g'(t)=t-3\)으로 다시 미분되고 \(g(2)=1\)도 만족하므로 두 조건이 모두 확인된다. 기호가 \(x,f\)에서 \(t,g\)로 바뀌어도, 교점 확인 후 구간을 나누고 원시함수의 \(C\)를 조건으로 정하는 순서는 유지되어야 한다.