진안동 고3수학과외: 조건이 바뀌는 순간을 잡는 풀이
경기도 화성시 진안동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 창의고등학교·와우고등학교·정현고등학교·이산고등학교·서연고등학교 등 화성시 내 통학권 참고 학교와 학생의 주간 일정 차이를 고려해 학습을 조정한다. 이 학생은 단원 전환 문제에서 계산보다 조건의 역할을 구분하는 데 어려움을 보였다.
변위와 이동거리를 구분하지 못한 첫 오답
문제는 속도 함수가 \(v(t)=t^2-6t+8\), 범위가 \(0\le t\le5\)일 때 \(s(5)-s(0)\)을 구하는 것이었다. 학생은 먼저
\(v(t)=(t-2)(t-4)\)이므로 \(t=2,4\)에서 방향이 바뀐다.
라고 판단한 뒤, 속도의 부호를 반영해
\(\displaystyle \int_0^2v(t)\,dt-\int_2^4v(t)\,dt+\int_4^5v(t)\,dt=\frac{28}{3}\)
이라고 답했다. 이 식은 이동거리를 구할 때의 계산이며, 문제에서 요구한 변위에는 맞지 않는 오답이다. \(s(5)-s(0)\)은 방향을 포함한 순변화이므로 속도의 부호를 따로 뒤집을 필요가 없다.
표의 첫 칸에 범위를 쓰고 조건을 덜어 내기
재풀이에서는 표의 첫 칸에 \(0\le t\le5\)를 먼저 적고, 다음처럼 조건의 역할을 분리했다.
- 구하는 값: \(s(5)-s(0)\)
- 사용할 관계: \(s(5)-s(0)=\displaystyle\int_0^5v(t)\,dt\)
- 불필요한 조건: \(v(2)=v(4)=0\)이라는 방향 전환 정보
따라서 절댓값이나 구간 분할 없이
\[ \int_0^5(t^2-6t+8)\,dt =\left[\frac{t^3}{3}-3t^2+8t\right]_0^5 =\frac{125}{3}-75+40 =\frac{20}{3} \]
으로 수정했다. 마지막 식을 미분하면
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}-3t^2+8t\right)=t^2-6t+8=v(t) \]
이므로 원래 속도 함수와도 일치한다. 학생은 오답 옆에 “변위 문제에 이동거리 조건을 추가함”이라고 한 문장으로 남긴 뒤 다음 문제로 넘어가도록 훈련했다.
계수를 바꾼 독립 검증
새 문제에서 \(v(t)=t^2-4t+3\), \(0\le t\le4\)일 때 \(s(4)-s(0)\)을 구하게 했다. \(v(t)=(t-1)(t-3)\)이므로 방향 전환점은 있지만, 이번에도 이동거리가 아닌 변위를 묻는다.
\[ s(4)-s(0)=\int_0^4(t^2-4t+3)\,dt =\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^4 =\frac{64}{3}-32+12 =\frac{4}{3} \]
마지막 원시함수를 미분하면 \(t^2-4t+3\)이 되고, 학생은 \(t=1,3\)을 이유 없이 절댓값 처리하지 않으며 조건과 구하는 양의 관계를 먼저 확인했다.