진안동고1수학과외: 분모와 근호로 나누는 함수의 정의역
유리함수와 무리함수의 정의역은 함수값을 계산하기 전에 먼저 걸러야 한다. 제한의 원인이 모두 같지는 않다. 분모가 있는 식에서는 분모가 0이 되면 안 되고, 짝수근의 근호 안에서는 값이 음수가 되면 안 된다.
계산보다 먼저 확인할 두 조건
예를 들어
f(x) = √(2x - 1) / (x - 3)
에서는 두 종류의 제한이 동시에 나타난다.
- 근호 조건: 2x - 1 ≥ 0이므로 x ≥ 1/2
- 분모 조건: x - 3 ≠ 0이므로 x ≠ 3
따라서 정의역은 x ≥ 1/2인 실수 중 x = 3을 제외한 값이다. 근호 때문에 1/2보다 작은 값을 제외하고, 분모 때문에 3을 추가로 제외한다.
학교 프린트에서 드러난 빠진 한 줄
화성시 진안동에서 통학하는 학생의 학교별 주간 일정은 서로 다를 수 있으므로, 학교 프린트의 함수값 계산 문제도 풀이 속 판단을 직접 확인해야 한다. 한 풀이에서 학생은 위 함수에 x = 5를 대입해
f(5) = √9 / 2 = 3/2
를 정확히 계산했다. 그러나 x = 0을 대입하는 문제에서는 근호 안이 -1이라는 사실을 확인하지 않고 계산을 이어 갔고, x = 3에 대해서도 분모가 0이 되는 것을 답안에 적지 않았다. 풀이 시작 부분에 정의역을 기록하지 않았기 때문에 두 제한의 원인이 모두 빠진 장면이다.
같은 ‘계산 불가’라도 이유는 다르다
x = 0이면 √(2·0 - 1) = √(-1)이므로 실수 범위에서 함수가 정의되지 않는다. 이는 근호 조건을 어긴 경우다. 반면 x = 3이면 분자는 √5로 실수이지만 분모가 0이 되어 나눌 수 없다. 따라서 두 값은 모두 정의역에서 제외되지만, 제외되는 이유는 각각 다르다.
풀이 첫 줄에는 “근호: 2x - 1 ≥ 0, 분모: x - 3 ≠ 0”을 적고, 계산을 마친 뒤에는 대입한 입력값이 두 조건을 모두 통과했는지 다시 확인한다.
두 번의 확인을 실제 풀이에 넣기
수정 훈련에서는 문제를 받은 직후 조건을 쓰게 한다. 예를 들어 x = 1일 때는 2(1)-1 = 1이므로 근호 조건을 만족하고, 1-3 = -2이므로 분모도 0이 아니다. 따라서
f(1) = √1 / (-2) = -1/2
이다. 반대로 x = 3일 때는 근호 조건은 만족하지만 분모 조건을 만족하지 않으므로 함수값을 계산하지 않고 “정의되지 않음”이라고 적는다. 풀이가 끝난 뒤에도 근호 안의 값과 분모의 값을 각각 대조해 두 번째 확인을 남긴다.
처음 보는 조건에서 확인한 판단
훈련 후에는 같은 식을 반복하지 않고 다음 함수를 제시한다.
g(t) = 4 / √(t + 2)
이 식에서는 t + 2가 근호 안에 있으므로 t + 2 ≥ 0이 필요하지만, 근호가 분모에 있으므로 √(t + 2) 자체가 0이어도 안 된다. 따라서 t + 2 > 0, 즉 t > -2가 정의역이다.
학생이 t = -2를 단순히 근호 조건의 경계값이라고 포함하지 않고, 분모가 0이 된다는 이유까지 설명하는지 확인한다. 또한 t = 7에서는
g(7) = 4/√9 = 4/3
으로 계산한 중간식을 유지하게 한다. 답이 틀리면 마지막 값만 고치지 않고, 근호 안 계산 또는 분모 확인이 시작된 줄을 스스로 찾아 수정하는지를 본다.