병점동고2수학과외, 적분값과 넓이를 부호로 구분하는 연습
병점고등학교와 안화고등학교처럼 학교별 주간 진도와 평가 일정이 다른 환경에서는, 같은 적분 단원이라도 풀이의 출발점을 정확히 잡는 일이 중요하다. 병점1·2동 생활권에서 학교 프린트와 내신 문제를 함께 정리할 때도 정적분값과 도형의 넓이를 구분해야 한다.
정적분값이 음수인데 넓이는 왜 양수인가
다음 함수의 그래프와 x축이 이루는 넓이를 구해 보자.
f(x)=x²−4, −3≤x≤3
학생의 답안에는 먼저
∫−33(x²−4)dx=−6
이 적혀 있었다. 계산 자체는 맞다. 그러나 −6은 해당 구간에서의 정적분값이지, 그래프와 x축 사이의 넓이가 아니다. f(x)=0에서 x=−2, 2이므로 함수는 [−2,2]에서 x축 아래에 있고, 양쪽 구간에서는 x축 위에 있다.
교점에서 구간을 나누지 않으면 부호가 사라진다
부정적분을 F(x)=x³/3−4x라 하면, x축 아래 부분의 정적분은
∫−22(x²−4)dx=F(2)−F(−2)=−32/3
이다. 따라서 이 부분의 넓이는 정적분값에 −를 붙인
−∫−22(x²−4)dx=32/3
으로 계산한다. x축 위에 있는 양끝 부분의 넓이는 각각
∫−3−2(x²−4)dx=7/3
와
∫23(x²−4)dx=7/3
이므로 전체 넓이는
7/3+32/3+7/3=46/3
이다. 학생이 교점을 찾지 않고 한 번에 적분한 것은 함수의 부호가 구간 안에서 바뀌는지를 확인하지 않은 오류다. 여기서 다시 확인할 항목은 여러 개를 한꺼번에 늘리는 대신 부호 하나로 정한다. 답안에는 먼저 f(x)=0의 해를 표시하고, 각 구간에서 f(x)의 부호를 적는다.
−3≤x≤−2: 양수, −2≤x≤2: 음수, 2≤x≤3: 양수
그 뒤 넓이를
∫−3−2f(x)dx−∫−22f(x)dx+∫23f(x)dx
처럼 부호에 맞춰 표현하게 한다. 이 과정을 거치면 정적분값과 넓이를 같은 답으로 적는 문제가 줄어든다.
계수와 구간이 달라진 함수에서 경계값 확인하기
이제 다음 문제를 별도로 제시한다.
g(x)=x²−9의 그래프와 x축, 그리고 직선 x=−4, x=2로 둘러싸인 넓이를 구하여라.
먼저 g(x)=0에서 x=−3, 3을 얻는다. 주어진 구간 [−4,2]에는 −3만 들어 있으므로 구간을 [−4,−3], [−3,2]로 나눈다. −3에서는 함수값이 0이므로 경계점은 포함되지만 넓이에 기여하는 부분은 없다.
원시함수 G(x)=x³/3−9x를 이용하면
∫−4−3(x²−9)dx=10/3
이고, x축 아래 부분의 넓이는
−∫−32(x²−9)dx=100/3
이다. 따라서 전체 넓이는
10/3+100/3=110/3
이다. 여기서 −3을 구간의 내부 교점으로 찾아내고, [−4,−3]과 [−3,2]에서 부호가 달라진다는 사실을 답안에 남겼는지가 판단 기준이다. 경계값을 −3 대신 함수의 영점이 아닌 값으로 잘못 잡으면 넓이의 부호와 계산 구간이 동시에 달라진다.
병점 생활권에서 학교별 문제의 계수나 적분구간이 바뀌더라도, 먼저 x축과 만나는 점을 찾고 부호표를 만든 뒤 정적분을 넓이로 바꾸는 순서를 유지해야 한다.