병점동 고3수학과외: 벡터 조건이 바뀌면 이차곡선의 부호부터 다시 확인하기
병점동 생활권의 학생은 병점고등학교와 안화고등학교의 학교별 일정에 맞춰 주간 풀이 시간을 조정하고 있다. 최근에는 두 단원의 순서와 조건이 함께 바뀐 복합문제에서 이전 풀이를 그대로 적용하는 실수가 나타났다.
타원에서 쌍곡선으로 바뀐 순간
처음 문제는 다음 타원과 벡터 조건을 함께 다루는 형태였다.
타원: \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\), 조건: \(\overrightarrow{OP}\)가 \((3,1)\)과 평행, \(x>0\)
벡터가 평행하므로 \(P=(x,y)\)에 대해
\[ y=\frac{x}{3} \]
이고, 이를 타원에 대입하면
\[ \frac{x^2}{9}+\frac{(x/3)^2}{4}=1 \] \[ \frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{36}=1 \] \[ \frac{5x^2}{36}=1 \] \[ x=\frac{6}{\sqrt5} \]
조건 \(x>0\)에 따라
\[ P=\left(\frac{6}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5}\right) \]
를 얻는다.
그런데 변형 문제에서는 곡선이 다음과 같이 바뀌었다.
\[ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1,\qquad \overrightarrow{OP}\parallel(3,1),\qquad x>0 \]
학생은 타원의 식을 그대로 유지해 다음과 같이 계산했다.
\[ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,\quad y=\frac{x}{3} \]
이 식은 오답이다. 쌍곡선에서는 두 좌표항 사이가 더하기가 아니라 빼기이므로, 타원 풀이의 부호를 유지할 수 없다.
조건을 분리해 올바르게 계산하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 두 조건을 다음처럼 분리했다.
- 벡터 평행 조건: \(\overrightarrow{OP}=t(3,1)\), 따라서 \(y=x/3\)
- 쌍곡선 조건: \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
이제 벡터 조건으로 얻은 \(y=x/3\)을 쌍곡선에 대입한다.
\[ \frac{x^2}{9}-\frac{(x/3)^2}{4}=1 \] \[ \frac{x^2}{9}-\frac{x^2}{36}=1 \] \[ \frac{x^2}{12}=1 \] \[ x=\pm2\sqrt3 \]
이에 따라 후보는
\[ \left(2\sqrt3,\frac{2\sqrt3}{3}\right),\quad \left(-2\sqrt3,-\frac{2\sqrt3}{3}\right) \]
이다. 끝점 옆에 조건을 적으면 첫 번째 후보는 \(x>0\) 포함, 두 번째 후보는 \(x<0\) 제외이다. 따라서 정답은
\[ \boxed{P=\left(2\sqrt3,\frac{2\sqrt3}{3}\right)} \]
이다. 학생은 중간식 옆에 ‘평행 벡터 → \(y=x/3\)’, ‘쌍곡선 → 항 사이의 빼기’라고 규칙을 적었다. 마지막에는 원래 식에 다시 대입해
\[ \frac{(2\sqrt3)^2}{9} -\frac{(2\sqrt3/3)^2}{4} =\frac{12}{9}-\frac{4/3}{4} =\frac43-\frac13=1 \]
이므로 쌍곡선 위의 점임을 확인했다. 또한 \((x,y)=(2\sqrt3,2\sqrt3/3)\)는 \((3,1)\)의 \(\frac{2\sqrt3}{3}\)배이므로 벡터 평행 조건도 만족한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 곡선과 벡터 조건을 모두 바꾸어 확인했다.
\[ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1,\qquad \overrightarrow{OP}\parallel(2,1),\qquad x<0 \]
평행 조건에서 \(y=x/2\)이고, 이를 대입하면
\[ \frac{x^2}{16}-\frac{(x/2)^2}{9}=1 \] \[ \frac{x^2}{16}-\frac{x^2}{36}=1 \] \[ \frac{5x^2}{144}=1 \] \[ x=\pm\frac{12}{\sqrt5} \]
\(x<0\)이므로
\[ P=\left(-\frac{12}{\sqrt5},-\frac{6}{\sqrt5}\right) \]
이다. 실제 검산에서도
\[ \frac{144/5}{16}-\frac{36/5}{9} =\frac95-\frac45=1 \]
이고, 이 점의 벡터는 \((2,1)\)의 \(-6/\sqrt5\)배이다. 계수와 방향 조건이 달라져도 곡선의 부호, 벡터의 비례 관계, 범위 조건을 각각 확인해야 후보를 정확히 제거할 수 있다.