병점동고1수학과외: 두 근호의 정의역을 동시에 찾는 법
병점고등학교와 안화고등학교의 학교별 내신 일정에 맞춰 학교 프린트와 교과서 문제를 살피다 보면, 함수값을 계산하는 속도보다 먼저 확인해야 할 조건에서 오답이 생기는 경우가 있다. 병점1·2동 생활권에서 귀가 후 확보한 짧은 시간에도 근호가 두 개인 식은 각 근호의 조건을 따로 세운 뒤 교집합을 구하는 순서가 필요하다.
대입보다 먼저 두 부호를 확인해야 하는 식
함수
f(t) = √(3t + 2) + √(10 - 2t)
가 주어졌다고 하자. 첫 번째 근호가 정의되려면
3t + 2 ≥ 0 → t ≥ -2/3
이고, 두 번째 근호에서는
10 - 2t ≥ 0 → t ≤ 5
이다. 따라서 함수의 정의역은 두 조건을 동시에 만족하는 -2/3 ≤ t ≤ 5이다.
실제 풀이에서 빠진 한 줄
관찰된 풀이에서는 함수값을 구하라는 문제를 보자마자 입력값을 식에 대입했다. 예를 들어 f(6)을 계산하면서
f(6) = √20 + √(-2)
까지 적은 뒤 계산을 멈추지 않고 답을 쓰려 했다. 이 식은 두 번째 근호의 조건 10 - 2t ≥ 0을 어긴다. 따라서 6은 정의역에 포함되지 않으며, 실수 범위에서 f(6)은 정의되지 않는다. 계산 실수라기보다 대입 전에 정의역 조건을 확인하지 않은 조건 판단의 오류다.
풀이의 앞뒤에 같은 판단을 배치하기
수정할 때는 문제를 읽은 직후 답란 옆에 다음 문장을 먼저 적는다.
두 근호가 모두 실수가 되도록 각 근호의 정의역 조건을 세우고 교집합을 구한다.
이후 3t+2≥0, 10-2t≥0을 각각 해결해 -2/3≤t≤5를 얻는다. 입력값이 6이면 이 범위 밖이므로 대입하지 않고 “정의되지 않음”이라고 결론낸다. 풀이를 마친 뒤에도 같은 문장을 다시 확인해, 계산 결과만 보고 정의역 판단을 생략하지 않았는지 점검한다.
연습지에서는 각 문제의 풀이 전과 풀이 후에 정의역 확인 표시를 남기게 한다. 오답을 분류할 때는 이번 사례를 ‘계산’이 아니라 ‘조건’ 오류로 기록한다. 틀린 줄을 고친 뒤 곧바로 답지를 보는 대신, 해당 조건을 다시 세워 한 번 더 시도하는 방식으로 판단 과정을 드러낸다.
조건이 하나 늘어난 문제에서 확인한 적용
변형 문제로
g(a) = √(a - 4) + √(12 - a)
에서 a가 정수일 때 g(a)가 정의되는 모든 a를 구하게 했다. 풀이 전에는
a - 4 ≥ 0 → a ≥ 4, 12 - a ≥ 0 → a ≤ 12
를 동시에 적어야 한다. 따라서 실수 범위의 정의역은 4≤a≤12이고, a가 정수라는 추가 조건까지 반영하면 가능한 값은 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12이다.
이때 a=3을 먼저 대입해 √(-1)+√9를 만드는지, 아니면 조건부터 세워 제외하는지를 확인한다. 답을 맞혔는지만 보지 않고, 두 근호의 조건을 동시에 적고 오류 유형을 ‘조건’으로 판단했는지까지 살핀다. 같은 문제를 다시 푸는 대신 조건이 추가된 새 문항에서 이 행동을 스스로 수행하면 정의역 판단이 실제 풀이에 연결된 것으로 볼 수 있다.