하남고2수학과외, 부정적분에서 C를 쓰는 이유와 정적분의 부호 구분
감일지구나 미사동에서 학교 수업과 과제를 마치고 귀가한 뒤 적분 문제를 풀 때, 계산 자체는 맞는데 답안의 성립 조건이 빠지는 경우가 있다. 특히 부정적분과 정적분을 같은 방식으로 처리하면 적분상수와 구간의 의미가 뒤섞인다.
∫2x dx=x²에서 끝내면 빠지는 값
다음 답안은 미분 계산만 보면 자연스럽다.
문제: \(F'(x)=2x\)인 함수 \(F(x)\)를 구하여라.
학생의 답: \(\displaystyle \int 2x\,dx=x^2\)
하지만 \(x^2\)만이 아니라 \(x^2+3\), \(x^2-5\)도 모두 미분하면 \(2x\)가 된다. 따라서 미분했을 때 같은 함수가 되는 모든 원시함수를 나타내려면
\[ F(x)=x^2+C \]
로 써야 한다. 여기서 \(C\)는 하나의 특정 숫자가 아니라 적분상수이며, 부정적분의 답에 포함된다. 실제로
\[ \frac{d}{dx}(x^2+C)=2x \]
이다. 반면 구간이 주어진 정적분
\[ \int_1^3 2x\,dx \]
에서는 적분상수를 따로 남기지 않고 원시함수의 차를 계산한다.
\[ [x^2]_1^3=3^2-1^2=8 \]
\(x^2+C\)를 사용해도
\[ (9+C)-(1+C)=8 \]
처럼 \(C\)가 서로 지워진다. 즉, 구간이 없는 부정적분에는 \(+C\)가 필요하고, 구간이 있는 정적분에서는 끝값의 차로 계산한다.
계산 전에 네모로 구분할 두 가지
풀이를 시작하기 전 답안 위쪽에 다음 두 칸을 적게 한다.
- 구간이 없는가? → 부정적분이므로 \(+C\)
- 구간이 있는가? → 양 끝값을 대입하여 차를 계산
예를 들어
\[ \int (3x^2-4)\,dx=x^3-4x+C \]
이고,
\[ \int_{-1}^{2}(3x^2-4)\,dx =[x^3-4x]_{-1}^{2} \]
이다. 두 번째 식에서는 \(C\)를 답의 끝에 붙이는 것이 아니라 원시함수의 위끝과 아래끝을 계산한다.
또한 정적분값은 넓이와 항상 같지 않다. \(f(x)=-2\)라면
\[ \int_1^4 -2\,dx=-6 \]
이지만 \(x\)축과 그래프 사이의 넓이는 \(6\)이다. 적분 구간과 함수의 부호를 확인하지 않고 정적분값을 곧바로 넓이라고 쓰면 안 된다.
새 구간에서 적분상수와 부호를 함께 확인하기
검산 문제로 다음 식을 제시한다.
\[ \int_{-2}^{1}(x+1)\,dx \]
먼저 원시함수는
\[ \frac{x^2}{2}+x \]
이고, 정적분값은
\[ \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-2}^{1} =\left(\frac12+1\right)-\left(2-2\right) =\frac32 \]
이다. 이 함수는 \(-2\le x<-1\)에서 음수이고, \(-1