하남고1수학과외, 근호 안 조건으로 무리함수 정의역 정하기
하남고등학교, 미사강변고등학교 등에서 고등학교 수학을 시작하면 무리함수의 그래프를 평행이동하는 문제에서 정의역까지 함께 묻는 경우를 만나게 된다. 감일동이나 망월동처럼 통학과 과제가 겹치는 시기에는 풀이 순서를 짧게 정해 두는 것이 도움이 된다. 무리함수에서는 그래프의 모양보다 먼저 근호 안 식의 부호를 판단해야 한다.
그래프를 옮기기 전에 먼저 써야 할 한 줄
함수 y = √(3x - 6) + 1을 보자. 제곱근이 실수로 정의되려면 근호 안이 0 이상이어야 하므로
3x - 6 ≥ 0
이어야 한다. 따라서
3x ≥ 6, x ≥ 2
이고 정의역은 {x | x ≥ 2}이다. 그래프는 y = √x를 오른쪽으로 2만큼, 위로 1만큼 옮긴 형태이지만, 그 이동을 떠올리는 일은 정의역 조건을 대신하지 않는다.
실제 풀이에서 나타난 방향 반대 오류
학교 프린트에서 이 함수를 본 학생은 그래프가 오른쪽으로 이동했다는 점부터 표시했다. 풀이 옆에는 별도의 ‘근호 안 식 ≥ 0’ 표시가 없었고, 답안에는 3x - 6 ≤ 0, x ≤ 2라고 적혀 있었다. 이는 근호 안 식의 조건 방향을 반대로 쓴 오답이다.
x = 3을 대입하면 근호 안은 3이므로 함수값을 계산할 수 있다. 반대로 학생의 조건 x ≤ 2에 따르면 x = 3을 제외하게 된다. 실제 정의역과 반대라는 점을 대입으로 바로 확인할 수 있다. x = 1에서는 근호 안이 -3이 되어 실수 범위의 함수값이 존재하지 않는다.
정의역을 먼저 확정한 뒤 그래프를 읽기
풀이 용지의 첫 줄을 다음처럼 고정한다.
근호 안 식 ≥ 0: 3x - 6 ≥ 0 → x ≥ 2
그 다음에 시작점을 (2, 1)로 잡고 그래프의 방향을 표시한다. 이 순서를 사용하면 그래프 이동을 알고 있어도 부등식 방향을 놓치지 않는다. 필요한 선수 개념은 음수가 근호 안에 들어갈 수 없다는 조건과 일차부등식의 해 방향뿐이다.
계수가 음수일 때 방향이 바뀌는 까닭
이번에는 y = √(8 - 2x) - 4를 적용한다. 먼저
8 - 2x ≥ 0
을 세우고 정리한다. 양변을 -2로 나누므로 부등호 방향이 바뀌어
x ≤ 4
가 된다. 따라서 정의역은 {x | x ≤ 4}이고 그래프의 시작점은 (4, -4)이다. ‘근호 안은 항상 0 이상’이라는 원칙은 같지만, x의 계수가 음수이기 때문에 해의 방향이 달라진다.
조건을 설명하는지까지 확인하는 변형 문제
연습한 식을 그대로 다시 풀지 않고, 계수와 부호를 바꾼 y = √(5x + 10) + 2를 제시한다. 학생이 먼저 5x + 10 ≥ 0을 적고 x ≥ -2를 얻는지 본다. 그래프를 외운 흔적만 따라가는 것이 아니라 ‘제곱근이 실수가 되려면 근호 안이 0 이상이어야 한다’고 설명하면서 시작해야 한다.
피곤한 날에는 긴 그래프 작도 대신 근호 안 식과 정의역만 먼저 적는 짧은 훈련으로 학습 종류를 조정할 수 있다. 숫자가 바뀌어도 첫 줄의 조건을 스스로 세우고 부등호 방향까지 설명한다면, 정의역 판단이 실제 풀이 행동으로 자리 잡았는지 확인할 수 있다.