하남 고3수학과외에서 다룬 극한과 미분의 판단 순서
감일동과 감이동, 망월동·미사동처럼 이동 시간이 달라지는 생활권에서는 중학교보다 늘어난 과제와 시험 범위를 짧은 시간에 정리해야 한다. 하남고등학교, 미사고등학교, 신장고등학교 등 일반고 학생도 문제를 많이 푸는 것보다 수열의 조건과 미분의 정의 중 무엇을 먼저 적용할지 판단하는 연습이 필요하다.
잘못된 풀이에서 드러난 판단 순서
문제는 다음과 같다.
함수 \(f(x)=3x^2-4x+1\)에 대하여
\[ \lim_{n\to\infty}n\{f(2/n)-f(0)\} \] 의 값을 구하여라.
학생은 먼저 \(f'(0)=-4\)를 계산한 뒤 답을 \(-4\)라고 적었다.
학생의 오답식
\[ \lim_{n\to\infty}n\{f(2/n)-f(0)\}=f'(0)=-4 \]
이 식은 틀렸다. 미분계수의 정의는
\[ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} \]
이므로 \(x=2/n\)으로 바꾸면
\[ \frac{f(2/n)-f(0)}{2/n} \]
이 미분계수에 해당한다. 문제의 식에는 \(n\)이 곱해져 있으므로
\[ n\{f(2/n)-f(0)\} =2\cdot\frac{f(2/n)-f(0)}{2/n} \]
가 된다. 학생은 수열의 항 \(2/n\to0\)이라는 조건과 미분 정의의 분모 \(2/n\)을 연결하지 않고, 도함수 값만 바로 대입했다.
정의에서 확인한 정확한 계산
먼저 수열 조건을 확인한다.
\[ \frac{2}{n}\to0\quad(n\to\infty) \]
따라서 미분계수 정의를 적용할 수 있다. 실제 식을 전개하면
\[ f(2/n)=3\left(\frac2n\right)^2-4\left(\frac2n\right)+1 =\frac{12}{n^2}-\frac8n+1 \]
이고 \(f(0)=1\)이므로
\[ n\{f(2/n)-f(0)\} =n\left(\frac{12}{n^2}-\frac8n\right) =\frac{12}{n}-8 \]
이다. 따라서
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{12}{n}-8\right)=-8 \]
이다. 도함수로 확인해도
\[ f'(x)=6x-4,\qquad f'(0)=-4 \]
이므로 문제의 극한은 \(2f'(0)=2(-4)=-8\)로 일치한다.
오답을 고치는 실제 점검 절차
- 틀린 줄 표시: \(n\{f(2/n)-f(0)\}=f'(0)\)에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: \(2/n\to0\)인지 먼저 확인하고, 미분 정의의 분모가 \(2/n\)임을 적는다.
- 식 수정: \(n=2/(2/n)\)이므로 전체 식을 \(2\cdot\frac{f(2/n)-f(0)}{2/n}\)로 바꾼다.
- 대입 검산: \(f(2/n)\)을 직접 전개해 \(\frac{12}{n}-8\)을 얻는다.
- 역검산: 직접 계산 결과 \(-8\)과 \(2f'(0)\)의 결과가 같은지 대조한다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 판단을 다시 확인한다.
함수 \(g(x)=x^3+5x-2\)에 대하여
\[ \lim_{n\to\infty}n\{g(-3/n)-g(0)\} \] 의 값을 구하여라.
\(-3/n\to0\)이므로 미분 정의를 적용하면
\[ n\{g(-3/n)-g(0)\} =-3\cdot\frac{g(-3/n)-g(0)}{-3/n} \]
이다. \(g'(x)=3x^2+5\)이므로 \(g'(0)=5\)이고, 극한값은
\[ -3g'(0)=-15 \]
이다. 실제 전개에서도
\[ g(-3/n)-g(0)=-\frac{27}{n^3}-\frac{15}{n} \]
이므로
\[ n\{g(-3/n)-g(0)\}=-\frac{27}{n^2}-15\to-15 \]
가 된다. 수열의 접근값을 먼저 확인한 뒤 미분계수의 분모와 비교해야 계수와 부호를 빠뜨리지 않는다.