정적분값과 넓이를 가르는 계산 줄
향남읍고2수학과외 수업에서 향남고등학교, 하길고등학교 등 향남 생활권 학생들의 풀이를 점검할 때, 통학과 과제가 겹친 뒤 급하게 답안을 정리하면서 정적분값을 곧바로 넓이로 적는 장면이 나타났다. 이때 필요한 것은 계산을 처음부터 다시 하는 일이 아니라, 부호가 바뀐 계산 줄을 찾아 정적분과 넓이를 분리하는 판단이다.
x축 아래에서 음수가 된 적분값
다음 함수의 정적분과 그래프와 x축 사이의 넓이를 구해 보자.
f(x)=x-2, 1≤x≤4
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
∫₁²(x-2)dx = -1/2이므로 넓이는 -1/2
계산 자체는 x축 아래 구간의 정적분값으로 맞지만, 넓이에 음수 부호를 붙인 것이 오류다. [1,2]에서 f(x)≤0이므로 정적분은 음수가 되지만, 넓이는 길이와 높이로 이루어진 값이어서 양수여야 한다.
정답 줄보다 먼저 바꿔야 하는 기호
먼저 x축과 만나는 점을 확인한다.
x-2=0에서 x=2
따라서 구간을 [1,2], [2,4]로 나눈다.
∫₁²(x-2)dx = [(x-2)²/2]₁² = 0-1/2 = -1/2
∫₂⁴(x-2)dx = [(x-2)²/2]₂⁴ = 2-0 = 2
정적분 전체는
∫₁⁴(x-2)dx = -1/2+2 = 3/2
반면 넓이는 x축 아래 부분의 절댓값을 취해
넓이 = |-1/2|+|2| = 5/2
풀이 중간에 “정적분은 부호를 포함하고, 넓이는 각 부분의 크기를 더한다”라고 말한 뒤, 음수였던 줄을 −∫₁²f(x)dx로 한 줄만 고쳐 쓰게 했다. 기호의 뜻과 식의 방향이 일치하는지 확인해야 계산 줄의 수정이 실제 답 수정으로 이어진다.
구간 밖 교점은 넓이 분할에 넣지 않는다
새 조건에서는 다음을 계산한다.
f(x)=x²-4, -3≤x≤1
학생이 먼저 구한 x축 교점 후보는 x=-2, 2이다. 그러나 정의된 구간은 [-3,1]이므로 x=2는 구간 밖 후보로 제거해야 한다. 구간 안에서는 [-3,-2]에서 함수가 양수이고, [-2,1]에서 음수이다.
F(x)=x³/3-4x라 하면
∫₋₃⁻²(x²-4)dx = F(-2)-F(-3) = 16/3-3 = 7/3
∫₋₂¹(x²-4)dx = F(1)-F(-2) = -11/3-16/3 = -9
따라서 정적분값은
∫₋₃¹(x²-4)dx = 7/3-9 = -20/3
넓이는 음수 구간의 값을 뒤집어
넓이 = 7/3+9 = 34/3
이번에는 x=2를 분할점으로 잘못 사용하지 않았는지, 음수 정적분값 -9를 넓이에 그대로 쓰지 않았는지, 정적분값과 넓이를 각각 따로 적었는지를 확인한다.