“표준편차를 그대로 넣었네.” 향남읍의 한 고3 학생은 정규분포와 모평균 추정이 함께 나온 문제에서 다음과 같이 계산했다.
모집단의 표준편차가 σ=12이고 표본 크기가 n=36, 표본평균이 74일 때 95% 신뢰구간을 구하여라.
오답: 74±1.96×12=[50.48, 97.52]
이 식은 틀렸다. 표본평균의 표준편차는 모집단의 표준편차 σ가 아니라 표준오차 σ/√n이기 때문이다. 표본평균을 확률변수 X̄라고 하면
X̄ ~ N(μ, σ²/n)이므로 표준편차는
σX̄=σ/√n=12/√36=2
이다. 따라서 95% 신뢰구간은
74±1.96×2=74±3.92
이므로 정답은 [70.08, 77.92]이다. 학생이 적은 오답은 신뢰구간의 폭을 표본 크기와 무관하게 만든다. 하지만 표본 크기 36개를 사용하면 평균의 변동성이 모집단 개별 자료보다 √36배 작아져야 한다.
틀린 줄에 별표를 붙여 조건을 다시 연결하기
재풀이에서는 오답을 단순히 ‘계산 실수’라고 적지 않고, 다음 줄에 별표를 표시했다.
- ★ 74±1.96×12
- 이 문제의 대상은 개별 자료가 아니라 표본평균 X̄이다.
- 따라서 정규분포의 표준편차는 σ가 아니라 σ/√n이다.
- n=36을 대입하여 12/6=2로 수정한다.
또한 표와 식이 같은 관계를 나타내는지 비교했다. 표본 크기 n이 커질수록 표본평균의 분포가 좁아져야 하는데, 오답식에서는 n이 전혀 나타나지 않는다. 이 점이 조건을 빠뜨린 핵심 증거였다.
대입과 역계산으로 확인한 결과
정답 구간의 오차 한계는 3.92이다. 이를 역산하면
3.92÷1.96=2=12/√36
이 되어 표본평균의 표준오차와 일치한다. 반대로 오답 구간의 오차 한계는 23.52이고, 이는 1.96×12로 계산한 값이다. 즉 모집단 자료 한 개의 변동성을 표본평균에 그대로 적용한 것이다.
향남고등학교, 하길고등학교, 화성고등학교, 향일고등학교, 발안바이오과학고등학교가 있는 향남 생활권에서는 중학교 때보다 통학과 과제가 늘어난 상태에서 이런 단원 전환이 겹칠 수 있다. 학생은 이동 중 풀이를 다시 볼 때도 숫자보다 먼저 ‘무엇의 표준편차인가’를 확인하는 별표 규칙을 적용하기로 했다.
조건을 바꾼 독립 검증
직전 문제를 보지 않고 다음 문제를 새로 풀었다.
모집단이 정규분포를 따르고 σ=15이다. 표본 크기 n=25, 표본평균이 68일 때 모평균의 90% 신뢰구간을 구하여라. 단, 표준정규분포의 90% 기준값은 1.645이다.
학생은 먼저
σX̄=15/√25=3
을 구한 뒤
68±1.645×3=68±4.935
로 계산했다. 따라서 신뢰구간은 [63.065, 72.935]이다.
이번에는 σ=15를 그대로 곱하지 않았고, n=25에 따른 표준오차 3을 사용했다. 마지막으로 오차 한계를 역계산하여 4.935÷1.645=3임을 확인하면서 σ와 σ/√n의 구분이 새 조건에서도 유지되는지 검증했다.