향남읍고1수학과외, 근호 앞 부호로 무리함수의 방향 읽기
향남고등학교와 하길고등학교 등 향남 생활권의 고1 수학에서는 통학과 과제가 겹치는 짧은 학습 시간에도 식의 구조를 먼저 읽는 연습이 필요하다. 무리함수에서는 인수의 숫자를 정한 뒤 부호를 감으로 붙이면 그래프의 증가·감소 방향을 거꾸로 판단하기 쉽다.
숫자보다 먼저 확인할 자리
무리함수 y=a√(x-p)+q에서 근호 안의 조건은 정의역을 정하고, 근호 앞 계수 a의 부호는 그래프가 오른쪽으로 갈 때의 방향을 결정한다.
- a>0이면 x가 커질수록 y가 커져 증가한다.
- a<0이면 x가 커질수록 y가 작아져 감소한다.
- 정의역은 x-p≥0, 즉 x≥p이다.
예를 들어 f(x)=-2√(x-3)+1은 x≥3에서 정의된다. x=3일 때 f(3)=1이고, x=7일 때 f(7)=-3이다. x가 3에서 7로 증가했는데 함수값은 1에서 -3으로 감소했으므로 이 함수는 감소한다. 방향을 결정한 것은 평행이동된 3과 1이 아니라 근호 앞의 음수 계수 -2이다.
답안에서 실제로 빠진 한 줄
향남 생활권에서 학교 과제와 시험 준비를 나누어 하던 학생의 풀이에는 y=2√(x+1)-4의 그래프를 그리는 과정이 있었다. 학생은 꼭짓점이 (-1,-4)라는 점은 표시했지만, 인수의 숫자 2를 먼저 정한 뒤 부호를 마지막에 감으로 붙였고, 근호 앞 계수의 부호를 확인했다는 표시는 남기지 않았다.
그 결과 답안에는 그래프가 오른쪽 아래로 내려가는 모양으로 그려졌다. 이는 학생이 잘못 작성한 그림이다. 실제로 x=-1이면 y=-4이고, x=0이면 y=-2이므로 x가 증가할 때 y도 증가한다. 따라서 2>0인 이 함수의 그래프는 꼭짓점에서 오른쪽 위로 올라가야 한다.
빠진 위치부터 다시 쓰는 수정 과정
오답을 지울 때 식 전체를 막연히 반복하지 않고, 방향 판단이 빠진 줄을 먼저 표시한다.
- 근호 안의 조건에서 x+1≥0이므로 정의역은 x≥-1이라고 적는다.
- 근호 앞 계수 a=2를 확인하고 a>0이므로 증가라고 표시한다.
- 시작점은 (-1,-4)로 잡고, x=-1에서 x=3으로 갈 때 y=-4에서 y=0으로 올라가는지 계산한다.
반대로 g(x)=-2√(x+1)-4라면 정의역은 같지만 근호 앞 계수가 음수다. g(-1)=-4, g(3)=-8이므로 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려간다. 숫자의 크기 2는 변화의 정도를 정하고, 부호는 증가·감소 방향을 바꾼다.
회전된 그림에서도 식의 연산을 설명하는가
검증할 때 그래프를 종이에 회전해 놓거나 축의 위치를 바꾼 그림을 제시한다. 그림의 모양만 보고 답을 말하게 하지 않고, 학생이 y=√x에서 근호 앞에 -2가 곱해졌으므로 함수값의 부호 방향이 바뀌어 감소한다고 설명하는지 확인한다.
또한 ‘이항하면 부호가 바뀐다’처럼 말하지 않고, 양변에 같은 연산을 적용했는지 설명하게 한다. 예를 들어 y+4=-2√(x+1)에서 양변에 1/(-2)를 곱하면 √(x+1)=-(y+4)/2가 된다. 근호 앞 계수의 부호가 식 변형에서도 유지되는지 확인해야 한다.
조건을 바꾼 뒤 남는 표시
마지막에는 h(x)=3-√(2x-4)의 그래프 방향을 스스로 판단하게 한다. 정의역은 2x-4≥0에서 x≥2이고, 이를 h(x)=3-√2√(x-2)로 보면 근호 앞 계수는 -√2<0이다. 따라서 시작점은 (2,3), 방향은 오른쪽 아래이며 감소한다.
이 문제에서 학생이 풀이 시작 전에 정의역과 근호 앞 계수의 부호를 표시하고, 회전된 그림의 모양이 아니라 양변에 적용된 연산과 계수의 관계로 설명한다면 새로운 조건에서도 판단 절차가 남아 있는지 확인할 수 있다.