풍산동 고2수학과외: 정적분값과 넓이를 구분하는 풀이
풍산동 생활권에서 고2 수학을 공부할 때는 귀가 후 과제량에 맞춰 문제 수만 늘리기보다, 풀이 첫 줄에서 구간과 부호를 확인하는 습관을 점검해야 한다. 풍산동 주소에 소재한 고등학교는 확인되지 않으므로, 하남시 내 풍산고등학교·미사강변고등학교·미사고등학교·신장고등학교·위례고등학교 등의 통학권을 참고하더라도 학교별 출제 경향을 단정하기보다 정적분 문제의 판단 과정을 살피는 편이 적절하다.
∫값이 0이어도 넓이는 0이 아니다
다음 함수를 구간 0≤x≤4에서 생각해 보자.
f(x)=x−2
그래프가 x축과 만나는 점은
x−2=0 → x=2
이므로 구간을 [0,2]와 [2,4]로 나누어야 한다. 학생이 첫 줄에
∫₀⁴(x−2)dx=0, 따라서 넓이도 0
이라고 적었다면 정적분값과 넓이를 같은 것으로 처리한 것이다. 계산 자체는 다음과 같이 맞다.
∫₀⁴(x−2)dx=[x²/2−2x]₀⁴=0
하지만 [0,2]에서는 함수가 x축 아래에 있으므로 정적분값이 음수이다.
∫₀²(x−2)dx=[x²/2−2x]₀²=−2
이 구간의 넓이는 음수가 될 수 없으므로 2이다. [2,4]에서는 함수가 x축 위에 있고
∫₂⁴(x−2)dx=2
이다. 따라서 전체 넓이는
2+2=4
이고, 정적분값은 위쪽 넓이에서 아래쪽 넓이를 뺀 2−2=0이다.
답안 여백에 먼저 적어야 할 세 가지
이 유형에서 풀이를 시작하기 전 여백에 다음을 적는다.
- 구간: [0,4]
- x축과의 교점: x=2
- 부호: [0,2] 음수, [2,4] 양수
그 뒤 정적분을 구하는지, 넓이를 구하는지 문제의 요구를 확인한다. 함수가 해당 구간 전체에서 음이 아닌 경우에만 정적분값을 넓이로 바로 사용할 수 있다. 부호가 바뀌면 교점에서 구간을 나누고, x축 아래 부분의 정적분에는 절댓값을 취해야 한다.
풀이 중간에는 다음 확인 상자를 남긴다.
□ 구간 확인 □ x축 교점 확인 □ 각 구간의 부호 확인 □ 넓이인지 정적분값인지 확인
조건이 바뀐 식에서 다시 판단하기
확인 문제는 다음과 같이 바꾼다.
f(x)=x²−1의 구간 [−2,2]에서 정적분값과 그래프와 x축으로 둘러싸인 넓이를 각각 구하여라.
x축과의 교점은
x²−1=0 → x=−1, 1
이다. 함수는 [−1,1]에서 음수이고, [−2,−1]과 [1,2]에서 양수이다.
정적분값은
∫₋₂²(x²−1)dx=[x³/3−x]₋₂²=4/3
이다. 넓이는 부호를 반영하여
∫₋₂⁻¹(x²−1)dx−∫₋₁¹(x²−1)dx+∫₁²(x²−1)dx=4
가 된다. 이때 같은 식을 그대로 반복했는지가 아니라, 새로운 교점인 −1, 1을 찾아 구간을 나누고 음수 구간 앞에 마이너스를 붙였는지를 확인한다.
교사의 질문 없이도 답안 첫 부분에 구간·교점·부호를 네모로 표시했다면, 정적분과 넓이의 차이를 조건에 맞게 적용하고 있는지 확인할 수 있다.