풍산동 고3수학과외에서 확인한 정규분포와 추정의 구분
풍산동은 하남풍산역과 풍산지구를 중심으로 생활권이 형성되어 있으며, 해당 지역명 주소의 고등학교는 확인되지 않습니다. 따라서 같은 하남시의 풍산고등학교, 미사강변고등학교, 미사고등학교 등으로 통학하는 학생은 귀가 시각과 과제량을 고려해 시험 준비 순서를 조정할 필요가 있습니다. 이번 사례의 학생도 개념을 외우기보다 문제의 조건이 모집단인지 표본인지 먼저 판별하는 연습이 필요했습니다.
표준화와 표준오차를 같은 값으로 본 오답
모집단의 시험 점수가 정규분포 N(70, 82)를 따르고, 크기 64인 표본의 평균을 X̄라 하자. 학생은 표본평균의 확률을 구하면서 다음과 같이 작성했습니다.
P(X̄ ≥ 72) = P((X̄-70)/8 ≥ (72-70)/8) = P(Z ≥ 0.25) ≈ 0.4013
이 식은 틀린 식이다. 모집단 한 명의 점수 X를 표준화할 때는 표준편차 8을 사용하지만, 표본평균 X̄의 표준편차는 표준오차인 8/√64=1이다. 표본의 크기 64라는 조건을 사용하지 않았기 때문에 계산 대상의 분포가 달라졌다.
따라서
X̄ ~ N(70, 12)
P(X̄ ≥ 72) = P((X̄-70)/1 ≥ (72-70)/1)
= P(Z ≥ 2) ≈ 0.0228
반면 모집단에서 임의로 한 명의 점수 X가 72점 이상일 확률을 묻는다면 그때는 (X-70)/8이 맞다. 같은 정규분포라도 변수의 대상이 개인 점수인지 표본평균인지에 따라 표준화 식이 달라진다.
추정 문제에서 조건을 먼저 분리한 과정
학생이 표본평균 72를 얻고 모집단 표준편차 8을 알고 있을 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구하는 문제에서는 확률변수의 표준화와 신뢰구간 공식을 섞지 않도록 했다.
표준오차 = σ/√n = 8/√64 = 1
신뢰구간 = X̄ ± 1.96 · σ/√n
= 72 ± 1.96
= [70.04, 73.96]
학생은 틀린 줄에 밑줄을 그은 뒤, 먼저 n=64가 표본평균의 분포에 들어가는 조건인지 확인했다. 이어서 모집단 표준편차와 표준오차를 따로 계산하고, 마지막으로 구간의 중심이 표본평균 72인지 역확인했다. 구간의 반길이가 1.96×1=1.96이므로 계산도 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단이 N(50, 102)이고, 크기 100인 표본에서 X̄=54를 얻었다고 하자. 모집단 표준편차를 알고 있을 때 90% 신뢰구간을 구하면 표준오차는
10/√100=1
이고, 표준정규분포의 90% 신뢰수준에 해당하는 값은 약 1.645이다.
54 ± 1.645×1 = [52.355, 55.645]
이번에는 표본 크기와 모집단 표준편차를 바꾸었지만, 표본평균의 표준화에는 항상 σ/√n이 사용된다는 판단을 재현했다. 개인의 점수 확률이면 10을, 표본평균이나 모평균 추정이면 1을 사용하는 것이 핵심이다.