풍산동고1수학과외

풍산동고1수학과외, 그래프의 위아래와 q값으로 치역 읽기

풍산지구에서 귀가 후 학교 프린트와 과제를 함께 정리할 때, 이차함수의 치역을 그래프의 높이만 보고 판단하면 정의역 조건을 놓치기 쉽다. 특히 q값은 꼭짓점의 y좌표를 알려 주지만, 치역 전체를 결정하려면 그래프의 방향과 정의역 끝점·제외값을 함께 확인해야 한다.

q=2라는 사실만으로 치역을 정할 수 없는 이유

함수 y=(x-1)²+2에서 꼭짓점은 (1, 2)이고, 아래로 내려가지 않는 그래프이므로 전체 실수에서의 최솟값은 q=2이다. 따라서 정의역이 모든 실수라면 치역은 y≥2이다.

그러나 정의역이 -1≤x<3으로 제한되면 오른쪽 끝점 x=3은 포함되지 않는다. 실제로

• x=1일 때 y=2이므로 최솟값 2는 포함된다.
• x=-1일 때 y=6이므로 y=6은 포함된다.
• x가 3에 가까워질수록 y는 6에 가까워지지만 x=3은 제외되므로 오른쪽에서 얻는 값은 6보다 작다.

따라서 이 경우에는 왼쪽 끝점에서 이미 y=6을 얻으므로 치역은 2≤y≤6이다. 한쪽 끝점이 제외되었다는 사실만 보고 무조건 치역의 끝값을 제외해서는 안 된다. 같은 y값이 다른 정의역의 x에서 이미 만들어지는지도 확인해야 한다.

프린트에 적힌 잘못된 치역

정의역이 -1≤x<3이므로 양 끝값을 제외하여 치역은 2<y<6이다.

이 줄은 학생이 그래프의 끝점을 표시하지 않은 채 눈대중으로 작성한 오답이다. x=1은 정의역에 포함되므로 y=2가 실제로 가능하고, x=-1도 포함되므로 y=6도 가능하다. 따라서 두 부등호를 모두 엄격하게 쓸 수 없다.

이 학생의 현재 상태는 식을 계산하지 못하는 것이 아니라, 정의역의 경계와 제외값을 그래프의 점으로 옮긴 뒤 치역을 결정하는 판단이 아직 안정되지 않은 상태에 가깝다. 풀이 첫 줄에 치역 판단 기준을 적지 않았기 때문에 q=2와 끝점의 y값 사이의 관계도 확인하지 못했다.

그래프에 끝점과 제외값을 먼저 표시하기

같은 문제를 다시 풀 때는 곧바로 치역 기호를 쓰지 않고 다음 계산을 남긴다.

• 꼭짓점: (1,2)
• 왼쪽 끝점: x=-1에서 y=(-2)²+2=6
• 오른쪽 경계: x=3이면 y=2²+2=6이지만 x=3은 정의역에서 제외

그래프에는 (-1,6)을 실점으로, (3,6)을 빈 점으로 표시한다. 그런데 두 점의 y좌표가 모두 6이므로, 왼쪽의 실점이 y=6을 이미 치역에 포함시킨다. 가장 낮은 y값은 꼭짓점에서 2이고 가장 높은 y값은 왼쪽 끝점에서 6이므로 최종 답은 2≤y≤6이다.

이때 풀이 앞에 “그래프의 위·아래 방향, q값, 정의역 끝점과 제외값을 반영한다”라고 짧게 기록하게 한다. 정답을 맞혔더라도 이 판단 기록이 빠졌다면 해당 부분은 다시 확인할 항목으로 남긴다.

하남 통학권 자료를 정리하는 시간에도 적용하기

풍산동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 풍산고등학교·미사강변고등학교·미사고등학교 등 같은 하남시 통학권 자료를 학교 선택의 단정적 근거가 아니라 학습 일정 조정의 참고 자료로 볼 수 있다. 귀가 시각이 늦어지는 날에는 긴 풀이보다 학교 프린트의 그래프 한 문제를 골라 정의역 표시와 치역 판단 기록을 남기는 방식이 적절하다.

단위가 바뀐 자료에서 같은 판단을 다시 확인하기

이후 수행평가 피드백을 반영한 새 자료 문제로 다음 함수를 제시한다.

z=(t-2)²+1, 정의역 0≤t≤5

이번에는 세로축 단위를 1단위가 아니라 2단위로 표시한 표를 사용한다. 단위가 달라져도 먼저 꼭짓점 (2,1)을 찾고, 끝점의 값을 계산한다.

• t=0이면 z=5
• t=5이면 z=10
• 꼭짓점에서는 z=1

따라서 치역은 1≤z≤10이다. 확인할 때는 정답만 보지 않고, 학생이 실제로 꼭짓점의 q값을 확인했는지, 정의역 양 끝을 대입했는지, 표의 단위가 바뀌어도 세로값을 정확히 읽었는지를 살핀다. 오류가 있다면 “치역을 잘못 썼다”가 아니라 “t=5에서 z=10을 계산한 줄에서 표의 2단위 눈금을 1단위로 읽었다”처럼 틀린 줄을 특정해 피드백한다.