위례동고2수학과외

위례동 고2수학과외: x축 아래 넓이는 적분 구간과 부호부터 확인해야 합니다

위례동 생활권에서는 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 후 공부 시간이 달라질 수 있습니다. 그래서 긴 풀이를 여러 번 반복하기보다, 한 문제에서 적분 구간과 함수의 부호를 정확히 판별하는 과정이 중요합니다. 같은 하남시 통학권의 위례고등학교, 미사강변고등학교, 미사고등학교, 신장고등학교, 감일고등학교 관련 학습에서도 이 판단은 넓이 문제의 기본이 됩니다.

부호가 바뀌는 지점을 찾지 않고 적분한 풀이

다음 함수와 구간을 살펴봅니다.

f(x)=x²−4, −3≤x≤3

학생은 곡선이 x축 아래에 있는 부분을 포함하면서도 교점을 찾지 않고

∫₋₃³(x²−4)dx

를 그대로 넓이라고 적었습니다. 그러나 x축과의 교점은

x²−4=0 → x=−2, 2

입니다. −2<x<2에서는 f(x)<0이므로 해당 정적분은 음수가 됩니다. 정적분값과 넓이는 같은 개념이 아니며, x축 아래 부분은 부호를 바꾸어 더해야 합니다.

교점이 적분 구간을 나누는 기준

구간을 세 부분으로 나누면 함수의 위치가 분명해집니다.

• −3≤x≤−2: 그래프가 x축 위
• −2≤x≤2: 그래프가 x축 아래
• 2≤x≤3: 그래프가 x축 위

따라서 넓이는

∫₋₃⁻²(x²−4)dx −∫₋₂²(x²−4)dx +∫₂³(x²−4)dx

로 계산해야 합니다. 원시함수는

F(x)=x³/3−4x

이므로 각 부분의 넓이는 각각 7/3, 32/3, 7/3입니다. 전체 넓이는

7/3+32/3+7/3=46/3

입니다. 한 번에 계산한 정적분값은 7/3−32/3+7/3=−6이므로 넓이로 답할 수 없습니다.

x축 아래 구간을 표시하는 짧은 훈련

풀이를 시작할 때 식부터 적지 않고, 먼저 다음 세 줄을 답안에 남깁니다.

① f(x)=0에서 교점 확인
② 각 구간에서 f(x)의 부호 확인
③ 부호에 맞춰 정적분을 나누어 계산

같은 행동을 숫자를 바꾼 문제에 즉시 적용합니다.

f(x)=x²−9, −4≤x≤4에서 x축과 그래프로 둘러싸인 넓이를 구하시오.

교점은 x=−3, 3이고, −3<x<3에서 함수가 음수입니다. 따라서

∫₋₄⁻³(x²−9)dx −∫₋₃³(x²−9)dx +∫₃⁴(x²−9)dx

로 세워야 하며, 넓이는 10/3+36+10/3=56/3입니다. 여기서도 교점을 생략하면 x축 아래 부분의 부호를 처리할 수 없습니다.

선택지 없이 설명하는 독립 확인

마지막에는 다음 문제를 정답만 쓰지 않고, 교점과 구간 분할 근거까지 서술하게 합니다.

f(x)=x²−1, −2≤x≤2에서 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하시오.

−1과 1에서 x축을 만나며, −1≤x≤1에서 함수가 음수이므로 구간을 나누어야 합니다. 넓이는

∫₋₂⁻¹(x²−1)dx −∫₋₁¹(x²−1)dx +∫₁²(x²−1)dx =4/3+4/3+4/3 =4

이때 교점을 먼저 찾고, x축 아래 구간에 음수 부호를 붙였는지가 풀이의 완성 여부를 결정합니다.