위례동고1수학과외: 무리함수와 이차함수 한쪽 가지의 역함수 연결
위례 생활권에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 만큼, 귀가 후 짧은 시간에도 함수식을 서로 바꾸는 과정을 정확히 남기는 연습이 필요하다. 이번 사례의 출발점은 다음 오답이다.
f(x)=√(x+1)+2일 때, f−1(x)=1/(√(x+1)+2)
이 식은 역함수를 역수로 바꾼 결과다. 역함수는 함수값의 역수가 아니라 입력과 출력의 역할을 바꾼 함수이므로, 반드시 x와 y를 교환하는 단계가 있어야 한다.
빠진 한 줄이 이차함수의 가지를 결정한다
y=√(x+1)+2에서 먼저 정의역은 x≥−1, 치역은 y≥2이다. 역함수의 관계를 만들 때는 다음처럼 진행한다.
x=√(y+1)+2
x−2=√(y+1)
(x−2)2=y+1
y=(x−2)2−1
따라서 역함수는
f−1(x)=(x−2)2−1, 단 x≥2
이다. 이 식은 꼭짓점이 (2,−1)인 이차함수 전체가 아니라, x≥2인 오른쪽 가지에 해당한다. 원래 무리함수의 치역이 y≥2였기 때문에 역함수의 정의역도 x≥2로 제한된다.
여백에 표시하지 않은 개념 단계를 풀이 안으로 옮기기
학생의 풀이에는 계산식은 있었지만, 여백에 ‘무리함수와 이차함수 한쪽 가지의 역함수 관계 이해’라는 확인 흔적이 없었다. 이때 단순히 정답 식을 베끼지 않고, 오답이 발생한 위치에 표시선을 긋는다.
- 빠진 위치: 역수로 바꾸기 직전
- 필수 행동: y=f(x)로 놓고 x와 y를 교환
- 이후 확인: 원래 치역을 역함수의 정의역으로 옮기기
그 줄부터 다시 쓰면 y=√(x+1)+2 → x=√(y+1)+2가 먼저 나온다. 이 교환이 없으면 무리함수와 이차함수의 관계도, 오른쪽 가지 조건도 나타나지 않는다.
합성으로 식과 범위를 함께 검산하기
역함수 후보 g(x)=(x−2)2−1에 원래 함수의 치역에 속하는 값 x=5를 넣으면
f(g(5))=f(8)=√9+2=5
가 된다. 반대로 원래 함수의 정의역에서 x=3을 택하면 f(3)=4이고,
g(f(3))=g(4)=(4−2)2−1=3
이다. 두 계산은 식만 맞는지 확인하는 것이 아니라, g에 입력되는 값이 반드시 x≥2여야 한다는 조건까지 점검하게 한다.
작도 순서를 섞은 문제에서 근거를 말할 수 있는가
확인 문제는 다음 네 조각을 순서 없이 제시한다.
- y=(x−3)2+1, x≥3
- y=√(x−1)+3
- 좌표축에 대한 대칭
- x와 y의 교환
학생이 계산 결과만 고르는지 보지 않고, “무엇을 먼저 해야 하는가?”를 말하게 한다. 올바른 설명은 y=√(x−1)+3에서 x와 y를 교환한 뒤 정리하여 y=(x−3)2+1을 얻고, 원래 치역이 y≥3이므로 역함수의 정의역은 x≥3이라는 것이다.
이때 중1 문자식·방정식·그래프가 불안정해 괄호를 전개하거나 좌표를 읽는 단계 자체에서 막힌다면, 무리함수 전체를 다시 선행하기보다 현재 문제에 필요한 문자식 정리와 그래프의 좌표 읽기를 먼저 보완한다. 그 뒤 다시 x와 y의 교환을 포함한 역함수 풀이로 돌아와 계산 근거를 말하게 한다.