위례동 고3수학과외: 벡터 조건으로 이차곡선의 후보를 걸러내기
위례동 생활권 학생은 통학 거리와 학교 위치에 따라 풀이 시간이 달라질 수 있어, 짧은 시간에도 조건의 우선순위를 분명히 세우는 연습이 필요하다. 같은 하남시 통학권의 위례고등학교, 미사강변고등학교 등을 참고하더라도 학생마다 문제를 검토하는 순서는 달라야 한다.
초점조건을 벡터식으로 바꾸는 과정
학생은 타원
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
의 두 초점을 \(F_1(-\sqrt5,0)\), \(F_2(\sqrt5,0)\)로 두고, 점 \(P(x,y)\)에서 두 초점으로 향하는 벡터가 수직이라는 조건을 적용했다.
수직 조건은
\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0\)
이며,
\[ \overrightarrow{PF_1}=(-\sqrt5-x,-y),\quad \overrightarrow{PF_2}=(\sqrt5-x,-y) \]
이다. 그런데 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\((-\sqrt5-x)(\sqrt5-x)+y^2=x^2+y^2+5\)
이 식은 오답이다. 첫 번째 곱을 전개하면
\[ (-\sqrt5-x)(\sqrt5-x)=x^2-5 \]
이므로 올바른 내적식은
\[ x^2+y^2-5=0 \]
이다. 학생은 \((-\sqrt5)(\sqrt5)=-5\)인 부호를 놓쳐 \(+5\)로 계산했다.
조건을 한 식으로 연결하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 타원의 조건에서
\[ y^2=4-\frac{4x^2}{9} \]
를 정리했다. 이를 올바른 벡터 조건에 대입하면
\[ x^2+4-\frac{4x^2}{9}-5=0 \] \[ \frac{5x^2}{9}-1=0 \] \[ x^2=\frac95,\qquad y^2=\frac{16}{5} \]
따라서 가능한 점은
\[ \left(\pm\frac{3}{\sqrt5},\ \pm\frac{4}{\sqrt5}\right) \]
이다. 마지막으로 \(x^2+y^2=5\)를 다시 대입해 내적이 0인지 확인하면서, 타원 위의 점이라는 조건과 벡터의 수직 조건을 동시에 만족하는지 검산했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고 타원
\[ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \]
과 초점 \(G_1(-\sqrt7,0),G_2(\sqrt7,0)\)를 사용했다. 두 벡터의 내적이 0이면
\[ x^2+y^2-7=0 \]
이어야 한다. 타원식에서 \(y^2=9-\frac{9x^2}{16}\)이므로
\[ x^2+9-\frac{9x^2}{16}-7=0 \] \[ \frac{7x^2}{16}+2=0 \]
이 되어 실수해가 없다. 이번에는 계산 결과를 억지로 좌표로 만들지 않고, 두 조건을 동시에 만족하는 점이 실제로 존재하지 않는다는 결론까지 확인했다.