반송동고2수학과외, 정적분값과 넓이를 구분하는 풀이
동탄1 생활권의 고2 수학 학습에서는 학교별 지필평가 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해야 한다. 특히 적분 단원에서는 계산 절차를 외우는 것보다 정적분의 부호와 실제 넓이의 관계를 판단하는 과정이 중요하다. 반송고등학교, 동탄고등학교, 나루고등학교, 동탄국제고등학교의 학습 일정이 다르더라도 이 판단은 공통으로 필요하다.
음수로 나온 정적분을 넓이라고 적은 풀이
다음 함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 넓이를 구해 보자.
f(x)=x-1, 0≤x≤3
그래프는 x=1에서 x축과 만나며, 0≤x<1에서는 x축 아래에 있고 1<x≤3에서는 x축 위에 있다. 따라서 구간 전체를 한 번에 계산하면 정적분값은
∫₀³(x-1)dx = [x²/2-x]₀³ = 9/2-3 = 3/2
이다. 그러나 넓이는 부호를 가진 정적분값과 같다고 바로 결론 내릴 수 없다. x축 아래 부분은 별도로 양의 넓이로 바꾸어야 한다.
구간을 나누면
∫₀¹(x-1)dx = -1/2
∫₁³(x-1)dx = 2
따라서 정적분값은
-1/2+2=3/2
이고, 두 부분의 넓이는
|-1/2|+|2|=1/2+2=5/2
이다. 풀이 중 “∫₀¹(x-1)dx=-1/2이므로 넓이는 -1/2”라고 적었다면, 계산 자체보다 정적분과 넓이를 같은 양으로 처리한 것이 오류다. 넓이는 음수가 될 수 없고, 함수가 x축 아래에 있는 구간에서는 정적분값의 절댓값을 사용해야 한다.
식 옆에 ‘정적분값’과 ‘넓이’를 나누어 적기
이 유형을 다시 풀 때는 문제의 식만 옮겨 적지 말고, 그래프가 x축 위인지 아래인지 확인한 내용을 식 옆에 남긴다.
- 0≤x≤1: f(x)≤0 → 정적분값은 음수, 넓이는 그 절댓값
- 1≤x≤3: f(x)≥0 → 정적분값과 넓이가 일치
그다음 정적분 계산과 넓이 계산을 분리한다.
정적분값: ∫₀³f(x)dx=3/2
넓이: -∫₀¹f(x)dx+∫₁³f(x)dx=5/2
이처럼 x축과 만나는 점을 먼저 표시하면, 직전 문제의 계산 순서만 반복하면서 음수 값을 넓이로 확정하는 실수를 줄일 수 있다.
계수가 바뀐 함수에서 부호를 다시 확인하기
다음 문제에서는 숫자와 계수가 달라진다.
g(x)=2x-4, 0≤x≤4
g(x)=0인 지점은 x=2이다. 따라서
∫₀²(2x-4)dx = [x²-4x]₀² = 4-8=-4
∫₂⁴(2x-4)dx = [x²-4x]₂⁴ = 0-(-4)=4
전체 정적분값은 -4+4=0이지만, 두 부분의 넓이는 4+4=8이다. 정적분값이 0이라는 결과만 보고 넓이도 0이라고 쓰면 위쪽과 아래쪽 넓이가 서로 상쇄된 것이다. 새로운 문제에서도 먼저 교점 x=2를 구하고, 각 구간의 함수 부호를 적은 뒤 정적분값과 넓이를 따로 계산해야 한다.
이제 문자식이 아닌 구체적인 수를 넣은 문제에서도 같은 판단을 유지하는지 확인할 수 있다. 계산 결과에 음수가 포함되면 그것이 정적분값인지, 넓이의 일부인지 답안에 표시하고, 최종 넓이가 음수가 아닌지도 검산한다.