반송동 고3수학과외에서 조건을 다시 읽는 정규분포 추정 풀이
반송동은 동탄1 생활권에 속하며, 지역 내 반송고등학교·동탄고등학교·나루고등학교·동탄국제고등학교가 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 달라 학생은 짧은 학습 시간에도 문제의 조건을 먼저 분리하는 연습이 필요했다.
직전 예제의 숫자를 복사한 오답
한 모집단의 성적이 정규분포를 따르고 모집단 표준편차가 12점이라고 하자. 크기 36인 표본에서 표본평균이 74점일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 구하는 문제였다. 학생은 ‘모집단이 정규분포’라는 조건과 ‘표본크기 36’이라는 조건을 밑줄로 구분하지 않고, 직전 예제의 표본크기 64를 그대로 사용했다.
학생의 오답: 표준오차를 12/8=1.5로 두고, 74±1.96×1.5를 계산하여 신뢰구간을 [71.06, 76.94]라고 했다.
이 식은 틀렸다. 표본평균의 표준편차는 모집단 표준편차를 표본크기의 제곱근으로 나눈 값이므로, 실제 표본크기 36에서는 12/√36=2이다. 따라서 올바른 계산은
74±1.96×(12/√36)=74±3.92
이며, 모평균의 95% 신뢰구간은 [70.08, 77.92]이다. 표본크기가 커질수록 표준오차가 작아진다는 관계도 오답식에서는 거꾸로 적용되었다.
조건 표시부터 검산까지 바꾼 풀이
- 문제의 첫 조건인 모집단 표준편차 σ=12에 밑줄을 긋고, 정규분포를 따른다는 조건과 표본크기 n=36을 따로 표시한다.
- 신뢰수준 95%이므로 표준정규분포의 양쪽 임계값 z=1.96을 확인한다.
- 표본평균의 분포가 N(μ, 12²/36)이므로 표준오차를 12/√36=2로 수정한다.
- 74±1.96×2를 계산한 뒤, 구간의 중심이 표본평균 74인지 확인한다.
- 오차 한계 3.92가 표준오차 2보다 큰지 확인하고, 표본크기 64를 사용했을 때보다 구간이 넓어지는지도 비교한다.
학생은 표의 누적확률을 확인할 때도 직전 문제의 수치를 옮기지 않고, 실제 몇 개 구간의 확률을 합산해 표의 값과 비교했다. 이 과정을 통해 숫자 배치가 아니라 표본크기와 표준오차의 관계가 풀이의 중심임을 확인했다.
표본크기를 바꾼 독립 검증
이번에는 모집단이 정규분포를 따르고 모집단 표준편차가 10점, 표본크기가 25, 표본평균이 81점일 때 모평균의 90% 신뢰구간을 구한다. 90% 신뢰수준의 임계값은 z=1.645이다.
표준오차는 10/√25=2이고, 오차 한계는 1.645×2=3.29이므로 신뢰구간은
81±3.29=[77.71, 84.29]
학생은 직전 예제 없이도 바뀐 표본크기 25를 사용해 새로운 z변환과 표준오차를 계산했다. 마지막으로 구간의 중심이 81이고 양끝의 거리가 각각 3.29인지 역산하여 수정 행동이 재현되었는지 확인했다.