반송동고1수학과외: 제곱함수의 역함수에서 정의역·치역 지키기
동탄1 생활권의 고등학교 프린트를 복습하다 보면 역함수 계산은 맞았는데, 원래 함수의 조건을 답안에서 빠뜨리는 경우가 있다. 특히 제곱해서 식을 정리할 때는 정의역이 어느 쪽 반직선인지에 따라 역함수의 부호가 달라진다.
제곱식만 뒤집으면 생기는 오류
함수
f(x)=(x-1)2+3, x≥1
을 보자. 원래 함수의 정의역은 [1, ∞)이고, 치역은 [3, ∞)이다. y를 기준으로 정리하면
y-3=(x-1)2
x-1=±√(y-3)
가 된다. 그런데 x≥1이라는 원래 정의역 조건 때문에 x-1≥0이다. 따라서 음의 가지는 버리고
x=1+√(y-3)
를 얻는다. 변수의 이름을 바꾸면
f-1(x)=1+√(x-3), x≥3
이다. 정의역 [1, ∞)를 유지했기 때문에 역함수의 치역은 [1, ∞)가 되고, 원래 함수의 치역 [3, ∞)가 역함수의 정의역이 된다.
반송고 프린트에서 확인된 대입 장면
학생은 함수값을 계산하라는 문제에서 입력값 0을 바로 대입했다.
f(0)=(0-1)2+3=4
계산 자체는 맞지만, 이 함수의 정의역이 x≥1로 제한되어 있으므로 f(0)은 주어진 함수에서 정의되지 않는다. 제곱식에 대입할 수 있다는 사실과 함수의 입력으로 허용된다는 사실은 다르다. 학생은 다음 줄로 넘어가기 전에 정의역 조건을 다시 보지 않았고, 역함수를 구한 뒤에도 그 조건을 근거로 남기지 않았다.
또한 f-1(x)=1±√(x-3)라고 적는 것도 완성된 답이 아니다. 원래 함수가 x≥1에서만 정의되어 일대일이 되었으므로, x-1은 음수가 될 수 없다. 조건을 사용하면 반드시 양의 가지를 선택해야 한다.
계산 앞에 남겨야 할 한 문장
풀이를 시작할 때 학생이 먼저 다음처럼 말하게 한다.
원래 함수의 정의역은 x≥1이므로 x-1≥0이고, 치역은 y≥3이므로 역함수의 입력은 x≥3이다.
그 뒤에 y=(x-1)2+3에서 x를 풀도록 한다. 이렇게 하면 ±가 나온 직후 원래 정의역 조건을 이용해 −√(y−3)를 제거할 수 있다. 마지막에는 합성으로 확인한다.
f-1(f(x))=1+√((x-1)2+3-3)
=1+√((x-1)2)
=1+|x-1|=x (x≥1)
x≥1이므로 |x−1|=x−1이다. 반대로 x≥3일 때
f(f-1(x))=(√(x-3))2+3=x
도 성립한다. 이 과정에서 정의역과 치역을 적지 않으면 절댓값을 x−1로 바꾸는 근거도 사라진다.
귀가 후 짧게 점검하는 방식
반송동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 긴 풀이보다 조건을 말로 남기는 연습을 먼저 배치할 수 있다. 평일 귀가 뒤에는 제곱형 함수 한 문제를 풀면서 답안에 정의역, 치역, 제곱근의 부호를 각각 표시한다. 학교 프린트의 숫자를 그대로 반복하기보다, 왜 한쪽 부호만 선택되는지 설명한 뒤 계산하도록 한다.
도형 조건을 바꾼 확인 문제
훈련이 유지되는지는 식의 숫자만 바꾼 문제로 확인하지 않는다. 길이와 각 조건이 달라진 도형을 제시하고, 문장 속 수치를 모두 옮겨 적는 대신 필요한 길이 관계만 골라 식을 세우게 한다. 예를 들어 한 변을 t, 다른 변을 t−2로 두고 두 변의 차가 2라는 관계만 사용해 넓이를
A(t)=t(t-2), t≥2
처럼 나타내게 한다. 여기서도 t의 범위를 먼저 확인하지 않고 제곱 완성이나 역관계를 진행한다면 같은 문제가 반복된 것이다. 학생이 “어디서 막혔는지”를 한 문장으로 말하고, 주어진 길이·각 중 실제 식에 필요한 관계만 선택했는지까지 살펴보며 이전 훈련의 적용 여부를 판단한다.