미사동고2수학과외

미사동고2수학과외, 정적분은 계산보다 구간과 부호가 먼저다

미사강변 생활권에서 학교별 지필평가와 주간 일정은 다를 수 있지만, 정적분 문제를 풀 때는 공통으로 확인할 순서가 있다. 학생의 풀이에는 ∫₁³ f(x)dx를 보자마자 원시함수의 값을 계산하고, 마지막에 부호를 맞추려는 흔적이 남아 있었다.

F(1)-F(3)로 계산한 순간 생긴 부호 오류

원시함수를 F(x)라 하면 정적분의 기본정리는

∫₁³ f(x)dx = F(3)-F(1)

이다. 그런데 학생은 넓이를 구하는 과정에서

∫₁³ f(x)dx = F(1)-F(3)

라고 적었다. 이는 적분 구간의 시작값과 끝값을 거꾸로 대입한 식이다. 예를 들어 f(x)=2x이면 F(x)=x²이므로

∫₁³ 2x dx = F(3)-F(1)=9-1=8

이다. 반대로 F(1)-F(3)=-8이 나오면 계산 실수가 아니라 방향을 바꾼 결과다. 또한 정적분값과 넓이는 구별해야 한다. 함수가 구간 전체에서 x축 위에 있으면 정적분값이 곧 넓이지만, x축 아래 부분이 포함되면 부호를 확인해 넓이를 따로 계산해야 한다.

식 위에 구간 방향과 함수의 위치를 먼저 표시하기

풀이를 시작할 때 다음 두 줄을 먼저 적게 한다.

구간: 1≤x≤3
계산 순서: F(3)-F(1)

그다음 그래프 또는 함수의 부호를 확인한다. 예를 들어 f(x)=x-2에서 1≤x≤3이면 x=2에서 x축과 만나므로 구간을 나누어야 한다.

∫₁³ (x-2)dx = ∫₁² (x-2)dx + ∫₂³ (x-2)dx

정적분값은

[x²/2-2x]₁³ = -1

이지만, 두 부분의 넓이는 각각 1/2이므로 전체 넓이는 1이다. 따라서 답안에는 구간, 원시함수 대입 순서, 함수의 부호를 함께 남겨야 한다.

표로 바꾼 조건에서도 끝점 순서를 유지하는지 확인하기

다음 표를 보고 정적분값을 구한다.

표의 정보를 식으로 옮기면

∫₂⁴ 3x²dx = G(4)-G(2)=64-8=56

이다. G(2)-G(4)로 계산하지 않았고, g(x)=3x²≥0이므로 이 구간에서는 정적분값과 넓이가 모두 56이다. 새로운 숫자와 표 형식에서도 먼저 구간의 양 끝을 확인한 뒤 끝점 순서와 부호를 기록하는지가 풀이의 기준이다.